Algebraiczne równanie Riccatiego

Algebraiczne równanie Riccatiego – jedno z następujących równań macierzowych:

• algebraiczne równanie Riccatiego czasu ciągłego:

$A^{T}X+XA-XB{R}^{-1}{B}^{T}X+Q=0$

• algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego:

$X=A^{T}XA-(A^{T}XB)(R+B^{T}XB{)}^{-1}(B^{T}XA)+Q$

gdzie $X$ jest nieznaną macierzą symetryczną $n\times n,$ a $A,B,Q,R$ są znanymi rzeczywistymi macierzami współczynników.

Nazwę równanie Riccatiego nadano algebraicznemu równaniu Riccatiego czasu ciągłego przez analogię do równanie różniczkowego Riccatiego. Zmienna nieznana pojawia się liniowo i w wyrażeniu kwadratowym (nie występują tu wyrażenia wyższych rzędów). Algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego pojawia się w miejscu algebraicznego równania Riccatiego czasu ciągłego przy badaniu układów dyskretnych i nie jest w oczywisty sposób związane z równaniem różniczkowym Riccatiego, które badał Jacopo Riccati.

Algebraiczne równanie Riccatiego określa rozwiązanie dla dwóch najbardziej fundamentalnych problemów teorii sterowania:

• stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego (LQR) z nieskończonym horyzontem,
• stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego-Gaussa (LQG) z nieskończonym horyzontem.

Rozwiązanie algebraicznego równania Riccatiego otrzymać można poprzez rozkład macierzy na czynniki albo przez iterację równania Riccatiego.

Algorytm rozwiązywania równania Riccatiego

Przy założeniu stabilizowalności pary $(A;B)$ oraz wykrywalności pary $(Q;A)$ algebraiczne równanie Riccatiego ma dokładnie jedno rozwiązanie w klasie macierzy symetrycznych półokreślonych dodatnio. Stosując do rozwiązania algebraicznego równania Riccatiego iteracyjną metodę Newtona, otrzymuje się następujący algorytm wyznaczania macierzy $X.$

Macierz $X$ jest granicą ciągu $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n,$ przy czym:

$0⩽X⩽V_{n+1}⩽V_n⩽V_0,$

gdzie $V_k$ jest jedynym rozwiązaniem równania Lapunowa o postaci:

${A_n}^T{V}_n+V_n{A}_n+Q+L_{n}R{L}_n=0,$

gdzie:

$n=1,2,3,4,...,$

$L_n=-R^{-1}{B}^T{V}_{n-1},$

$A_k=A+B{L}_n$

$L_0$ jest tak wybrane, by części rzeczywiste wartości własnych macierzy $A_n=A+B{L}_0$ były ujemne. Zbieżność $V_k$ do $X$ jest kwadratowa, czyli istnieje stała $c>0,$ taka że:

$||V_{n+1}-X||⩽c||V_n-X|{|}^2,n=0,1,2,3,....$

Macierz $L_0$ może być wyznaczona za pomocą odpowiednich twierdzeń.

Powyższy algorytm podał Kleinman w 1968 roku. A sposób wyznaczania macierzy $L_0$ zaproponował Sandell w 1974 roku.

Zobacz też

• równanie Lapunowa
• równanie Sylvestera