Równanie różniczkowe Riccatiego

Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:

$\frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x),$

gdzie $p,q,r$ są funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale $(a,b),$ nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.

Przypadki szczególne:

• dla $r(x)\equiv 0$ równanie sprowadza się do równania różniczkowego Bernoulliego,
• dla $p(x)\equiv 0$ równanie sprowadza się do równania liniowego.

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru $(a,b)\times ℝ$ przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne $y_1$ równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie:

$y=y_1+\frac{1}{z}$

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymuje się:

${y_1}^{\prime }-\frac{z^{\prime }}{z^2}=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x)+\frac{2p(x)y_1}{z}+\frac{p(x)}{z^2}+\frac{q(x)}{z},$

skąd wobec równości:

${y_1}^{\prime }=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x)$

otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe:

$z^{\prime }+(2p(x)y_1+q(x))z=-p(x).$

Do równania Riccatiego można sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu podstawieniem

$y(x)=e^{\int u(x)dx}.$

Równanie Riccatiego można sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu podstawieniem

$u(x)=e^{-\int p(x)y(x)dx}.$

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie różniczkowe Clairauta
• równanie różniczkowe zupełne

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę