Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe zupełne – równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaciSzablon:R:

$P(x,y)+Q(x,y)\cdot \frac{dy}{dx}=0,$

w którym $P(x,y),Q(x,y)$ – funkcje ciągłe w pewnym obszarze $D$ i takie, że wyrażenie $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze $D$ funkcji dwóch zmiennych $F(x,y).$

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja $F(x,y),$ że w każdym punkcie obszaru $D$ zachodzą następujące związki:

$\frac{\partial F}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y).$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym $D$ jest spełnienie równości:

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$

Przykład

$(\cos x-x\sin x)ydx+(x\cos x-2y)dy=0$

$ℒ=\frac{\partial P}{\partial y}=\cos x-x\sin x$

$𝒫=\frac{\partial Q}{\partial x}=\cos x-x\sin x$

Zatem $ℒ=P,$ czyli istnieje $F(x,y)$ taka, że:

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. Szablon:LinkWzór) otrzymujemy:

$F(x,y)=\int (x\cos x-2y)dy=yx\cos x-y^2+\varphi (x).$

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

$\frac{\partial F}{\partial x}=y(\cos x-x\sin x)+{\varphi }^{\prime }(x),$

$y\cos x-yx\sin x+{\varphi }^{\prime }(x)=(\cos x-x\sin x)y,$ z równania Szablon:LinkWzór

stąd:

${\varphi }^{\prime }(x)=0,$

zatem:

$\varphi (x)=C_1,$

czyli:

$F(x,y)=xy\cos x-y^2+C_1=C_2$

i upraszczając:

$xy\cos x-y^2=C,$ gdzie $C$ to stała.