Równanie różniczkowe Clairauta

Równanie różniczkowe Clairauta – równanie różniczkowe postaci

$y=x{y}^{\prime }+f(y^{\prime }).$

O funkcjach $y$ oraz $f$ zakładamy, że są różniczkowalne w pewnych przedziałach.

Przez różniczkowanie obu stron otrzymujemy

$y^{\prime }=y^{\prime }+x{y}^{″}+f^{\prime }(y^{\prime })y^{″},$

czyli

$y^{″}=0$ lub $0=x+f^{\prime }(y^{\prime }).$

To równanie łatwo rozwiązać. Jednak nie wszystkie rozwiązania tego równania są rozwiązaniami równania pierwotnego. Ostatecznie otrzymuje się rodzinę prostych i jej obwiednię.

Równanie Clairauta dla funkcji wielu zmiennych

Równanie to można uogólnić na przypadek wielu zmiennych $x_1,x_2,\dots ,x_n.$ Ma ono wówczas postać

$y=x_1\frac{\partial y}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial y}{\partial x_2}+\dots +x_n\frac{\partial y}{\partial x_n}+f(\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial y}{\partial x_n}).$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, Szablon:ISBN.