Równanie Sylvestera

Szablon:Dopracować Równanie Sylvestera – często spotykane w teorii sterowania równanie macierzowe mające postać:

$AX+XB=C,$

gdzie $A,B,X,C$ to macierze o wymiarach $n\times n.$

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania

Korzystając z notacji iloczynu Kroneckera i operatora wektoryzacji $\mathrm{vec}$ powyższe równanie może być zapisane w postaci

$(I_n\otimes A+B^T\otimes I_n)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C,$

gdzie $I_n$ jest macierzą jednostkową o rozmiarach $n\times n.$

W takiej postaci równanie Sylvestera może być interpretowane jako układ liniowy o wymiarze $n^2\times n^2.$ (W przypadku poszukiwania rozwiązania numerycznego zapis równania w takiej formie nie jest zalecany, ponieważ rozwiązanie równania w wersji układu liniowego jest niewydajne obliczeniowo i źle uwarunkowane).

Jeśli $A=UL{U}^{-1}$ i $B^T=VM{V}^{-1}$ są kanonicznymi formami Jordana macierzy $A$ i $B^T,$ a ${\lambda }_i$ i ${\mu }_j$ są ich wartościami własnymi, można zapisać:

$I_n\otimes A+B^T\otimes I_n=(V\otimes U)(I_n\otimes L+M\otimes I_n)(V\otimes U{)}^{-1}.$

Ponieważ $(I_n\otimes L+M\otimes I_n)$ jest górną macierzą trójkątną z elementami na przekątnej ${\lambda }_i+{\mu }_j,$ macierz po lewej stronie jest osobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $i$ i $j,$ takie że ${\lambda }_i=-{\mu }_j.$

W ten sposób dowiedzione zostało, że równanie Sylvestera ma jednoznaczne rozwiązanie, wtedy i tylko wtedy macierze $A$ i $-B$ nie mają wspólnych wartości własnych.

Rozwiązanie numeryczne

Klasyczny algorytm rozwiązania numerycznego równania Sylvestera jest algorytm Bartelsa-Stewarta, na który składa się przekształcenie macierzy $A$ i $B$ do postaci Schura (zob. rozkład Schura) za pomocą algorytmu QR, a następnie rozwiązanie układu trójkątnego poprzez podstawienie w tył dla macierzy trójkątnej. Algorytm ten, którego złożoność obliczeniowa wynosi $O(n^3)$ operacji arytmetycznych, wykorzystywany jest w pakietach oprogramowania LAPACK, Matlab i GNU Octave (w funkcji lyap).

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie Lapunowa