Metody Lapunowa

Szablon:Dopracować Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga – nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. W późniejszym czasie stworzono także inne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie do stabilności układów nieliniowych, wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania tych funkcji. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często używa się metody prób i błędów, doświadczenia, intuicji. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi $x_e$ układu:

$\frac{dx}{dt}=f(x).$

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu $x_e$ rozwijając funkcję $f(x)$ w szereg Taylora:

$\frac{dx}{dt}=f(x_e)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e)(x-x_e)+O((x-x_e{)}^2),$

gdzie:

pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial x}(x_e)$ jest oznaczona jako $A,$

$O$ to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

$\frac{d\xi }{dt}=A\xi$

na podstawie którego można wnioskować o zachowaniu układu $f(x).$ Jeśli punkt równowagi ${\xi }_e$ jest asymptotycznie stabilny to $x_e$ jest asymptotycznie stabilny. Jeśli ${\xi }_e$ jest niestabilny to $x_e$ jest niestabilny. Zwykła stabilność ${\xi }_e$ nie pociąga za sobą stabilności $x_e.$

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji $V(x)$ takiej, że:

1. $V(x_e)=0,$
2. $V(x)>0$ dla każdego $x\ne x_e,$
3. $\dot{V}(x)⩽0.$

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla $x\ne x_e$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci $⟨\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}V(x),f(x)⟩⩽0$ odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi $x_e$ układu:

$\frac{dx}{dt}=f(x,t).$

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu $x_e$

$\frac{dx}{dt}=f(x_e,t)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t)(x-x_e)+hot(x,t),$

gdzie pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t)$ jest oznaczona jako $A(t).$

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

$\frac{dZ}{dt}=A(t)Z(t).$

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji $V(x,t)$ takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po $x$ i $t,$

$V(x_e,t)=0$ dla każdego $t,$

$V(x,t)>0$ dla każdego $x\ne x_e,$

$\dot{V}(x,t)⩽0.$

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla $x\ne x_e$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji ${\varphi }_1,{\varphi }_2$ to $x_e$ jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.