Punkt równowagi

Stabilny punkt równowagi

Niestabilny punkt równowagi

Punkt równowagi, stan równowagi – stan układu mechanicznego, w którym pozostaje on w bezruchu (tj. prędkość zmian stanu wynosi 0). Jako przykład podać można wahadło, które ma dwa punkty równowagi, dokładnie poniżej oraz powyżej punktu zaczepienia wahadła.

Punkt $x_e$ określający położenie równowagi ciała spełnia warunek:

$f(x_e,t)=0,$

dla każdego $t$ – gdzie $t$ to czas, a $f$ siła działająca na ciało.

Punkty równowagi dzieli się na stabilne i niestabilne. Ponownie na przykładzie wahadła: punkt równowagi leżący powyżej punktu zaczepienia wahadła nie jest punktem stabilnym, ponieważ nawet niewielkie zaburzenie stanu układu spowoduje ruch wahadłowy i w efekcie przejście do drugiego punktu równowagi.

Stabilność punktu równowagi bada się za pomocą portretu fazowego oraz za pomocą metod Lapunowa, przy czym stabilność tę można określić jako:

zwykłą – gdy układ jedynie krąży w niewielkiej odległości $(ϵ)$ od punktu równowagi,

lub:

jednostajną – gdy dodatkowo $ϵ$ jest niezależny od czasu,

asymptotyczną – gdy dodatkowo $x=x_e$ po nieskończenie długim czasie,

asympt. wykładniczą – asymptotyczną, dla której $ϵ=e^{-\alpha t}$ (gdzie $\alpha >0,$ a $t$ to czas).