Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

W elektromagnetyzmie

Wyprowadzenie

Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności:

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\hat{r},$

$\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{v}}{c^2}\times \overrightarrow{E},$

$\frac{1}{c^2}={\epsilon }_0{\mu }_0.$

Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_o}{4\pi }q\frac{\overrightarrow{v}\times \hat{r}}{r^2},$

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_o}{4\pi }I\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2},$

gdzie:

$q$ – punktowy ładunek elektryczny,

$v$ – prędkość ładunku $q.$

Przyczynek $\mathrm{d}\overrightarrow{B}$ do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości $\mathrm{d}\overrightarrow{l}$ przewodnika z prądem o natężeniu $I.$

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}=K_{\mathrm{m}}\frac{I\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2},$

gdzie:

$K_{\mathrm{m}}=\frac{{\mu }_0{\mu }_r}{4\pi }$ (zob. Przenikalność magnetyczna),

$I$ – natężenie prądu, wyrażone w amperach,

$\mathrm{d}\overrightarrow{l}$ – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika,

$\hat{r}$ – wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,

$r$ – odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}{|}^3},$

gdzie $\overrightarrow{r}$ to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{\mathrm{d}l\sin \alpha }{r^2}.$

Przewodnik prostoliniowy

Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu $I.$ Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:

$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{\mathrm{d}l\sin \alpha }{r^2}.$

Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.

Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka $\mathrm{d}l$ przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe.

Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej $B$ w odległości $r$ od przewodnika o natężeniu $I$ całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.

$B=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin \alpha \cdot \mathrm{d}l}{r^2}$

$\alpha ,$ $l,$ $r$ nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą.

Studiując ilustrację zawartą w artykule, można, wprowadzając zmienną $R,$ będącą najkrótszą odległością do przewodu, wypisać następujące związki:

$r=\sqrt{l^2+R^2},$

$\sin \alpha =\frac{R}{\sqrt{l^2+R^2}}.$

Podstawiając powyższe zależności do całki, otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{R\mathrm{d}l}{(l^2+R^2{)}^{1,5}}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}.$

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.

Przewodnik kołowy

W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać, całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu $R$ w próżni indukcję określa wzór:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}.$

Rozciągły obszar z prądem

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}=K_{\mathrm{m}}\frac{\overrightarrow{j}\times \widehat{𝐫}}{r^2}\mathrm{d}V,$

gdzie:

$\overrightarrow{j}$ – gęstość prądu,

$\mathrm{d}V$ – element objętości.

Poruszający się ładunek

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}=K_{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{d}q\overrightarrow{v}\times \hat{r}}{r^2},$

gdzie:

$\mathrm{d}q$ – przyczynek ładunku elektrycznego,

$\overrightarrow{v}$ – prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji $\mathrm{d}\overrightarrow{B}$ wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

$\overrightarrow{B}=\int \mathrm{d}\overrightarrow{B}.$

Wnioski

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.

W mechanice płynów

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

• przewodnik elektryczny – struga wirowa,
• natężenie prądu – cyrkulacja strugi,
• wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu.

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana $\mathrm{d}\overrightarrow{v}$ w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości $\mathrm{d}l$ określa wzór:

$\mathrm{d}\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{\Gamma }\hat{r}\times \mathrm{d}\overrightarrow{l}}{4\pi r^2},$

gdzie:

$\mathrm{\Gamma }$ – cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:

$v=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2\pi r}.$

Zobacz też

• Jean-Baptiste Biot
• Félix Savart
• prawo Ampère’a