Podkategoria reflektywna

Podkategoria reflektywna – pojęcie używane w matematyce, w teorii kategorii.

Definicja

Podkategorię $𝒜$ kategorii $ℬ$ nazywamy podkategorią reflektywną, jeżeli istnieje, zwany reflektorem, funktor $ℱ:ℬ\to 𝒜$ lewostronnie sprzężony do funktora włożenia $ℐ:𝒜\hookrightarrow ℬ.$ Równoważnie oznacza to, że dla każdego obiektu $B\in Ob(ℬ)$ istnieje obiekt $A_B\in Ob(𝒜)$ oraz, zwany $𝒜$-reflektem obiektu $B,$ morfizm ${\mu }_B:B\to A_B$ taki, że dla dowolnego $ℬ$-morfizmu $f:B\to A,$ gdzie $A\in Ob(𝒜),$ istnieje dokładnie jeden $𝒜$-morfizm $g:A_B\to A$ taki, że $f=g\circ {\mu }_B,$ tj. poniższy diagram jest przemienny.

średni

Należy nadmienić, że można spotkać w literaturze definicję zakładającą dodatkowo, że podkategoria $𝒜$ jest pełna.

Przykłady

• Pełna podkategoria grup abelowych jest podkategorią reflektywną kategorii grup i homomorfizmów. Reflektorem jest funktor abelianizacji.
• Pełna podkategoria zwartych przestrzeni Hausdorffa jest podkategorią reflektywną kategorii przestrzeni Tichonowa i odwzorowań ciągłych. Reflektorem jest funktor uzwarcenia Čecha-Stone’a.