Pochodna logarytmiczna

Pochodna logarytmiczna funkcji $f(x)$ – pochodna logarytmu naturalnego funkcji $f$,

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}.$

Powyższy wzór można wyprowadzić używając wzoru na pochodną złożenia.

Jest ona często używana w analizie matematycznej, szczególnie w analizie zespolonej.

Podstawowe własności

1. Pochodna logarytmiczna iloczynu funkcji jest sumą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm iloczynuSzablon:U.

   $(\ln fg{)}^{\prime }=(\ln f+\ln g{)}^{\prime }=(\ln f{)}^{\prime }+(\ln g{)}^{\prime }.$

2. Pochodna logarytmiczna ilorazu funkcji jest różnicą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm ilorazu.

   $(\ln \frac{f}{g})=(\ln f-\ln g{)}^{\prime }=(\ln f{)}^{\prime }-(\ln g{)}^{\prime }.$

3. Pochodna logarytmiczna odwrotności funkcji jest wartością przeciwną do pochodnej logarytmicznej funkcji.

   $(\ln 1/f{)}^{\prime }=(-\ln f{)}^{\prime }=-(\ln f{)}^{\prime }.$

4. Pochodna logarytmiczna $n$-tej potęgi funkcji jest pochodną logarytmiczną tejże funkcji przemnożoną przez $n$

   $(\ln f^n{)}^{\prime }=(n\ln f{)}^{\prime }=n(\ln f{)}^{\prime }.$

Zastosowania

Pochodna funkcji wykładniczej

Przekształcając wzór na pochodną logarytmiczną otrzymujemy wzór na $f^{\prime }$Szablon:U:

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f},$

$f^{\prime }=f\cdot (\ln f{)}^{\prime }.$

Gdy $f$ jest postaci

$f=g^h,$

otrzymujemy wzór

$f^{\prime }=f\cdot (h\cdot \ln g{)}^{\prime }=f\cdot (h^{\prime }\cdot \ln g+h\frac{g^{\prime }}{g}).$

Przykłady

1. Pochodna wyrażenia $2^x$ jest równa

   $(2^x{)}^{\prime }=2^x(x\cdot \ln 2{)}^{\prime }=2^x\ln 2.$

2. Pochodna wyrażenia $x^{2x}$ jest równa

   $(x^{2x}{)}^{\prime }=x^{2x}(2x\cdot \ln x{)}^{\prime }=2x^{2x}(\ln x+1).$

Pochodna iloczynu wielu funkcji

Gdy funkcja $f$ jest postaciSzablon:U

$f=f_1\cdot f_2\cdot \dots \cdot f_n=\prod _{k=1}^n{f}_k,$

używając wzoru na pochodną logarytmiczną iloczynu otrzymujemy:

$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{{f_1}^{\prime }}{f_1}+\frac{{f_2}^{\prime }}{f_2}+\dots +\frac{{f_n}^{\prime }}{f_n}=\sum _{k=1}^n\frac{{f_k}^{\prime }}{f_k},$

czyli wzór na pochodną $f^{\prime }$ jest następujący:

$f^{\prime }=f\cdot (\frac{{f_1}^{\prime }}{f_1}+\frac{{f_2}^{\prime }}{f_2}+\dots +\frac{{f_n}^{\prime }}{f_n})=f\cdot \left(\sum _{k=1}^n\frac{{f_k}^{\prime }}{f_k}\right).$

W szczególnym przypadku (gdy $f=g\cdot h$) mamy:

$f^{\prime }=f\cdot (\frac{g^{\prime }}{g}+\frac{h^{\prime }}{h}).$

Przykłady

1. Pochodna wyrażenia $x\cos (x)$ jest równa

   $(x\cos (x){)}^{\prime }=x\cos (x)\cdot (\frac{1}{x}-\frac{\sin (x)}{\cos (x)}).$

2. Pochodna wyrażenia $2x\sin (x)\ln (x)$ jest równa

   $(2x\sin (x)\ln (x){)}^{\prime }=2x\sin (x)\ln (x)\cdot (\frac{2}{2x}+\frac{\cos (x)}{\sin (x)}+\frac{1}{x\ln (x)}).$

Pochodne logarytmiczne podstawowych funkcji

Oznaczając pochodną logarytmiczną $f$ poprzez $D_{\log }f$ otrzymujemy:

• $D_{\log }x=\frac{1}{x}$

• $D_{\log }{x}^2=\frac{2}{x}$

• $D_{\log }\frac{1}{x}=-\frac{1}{x}$

• $D_{\log }{x}^n=\frac{n}{x}$

• $D_{\log }k{e}^x=1$

• $D_{\log }k{e}^{nx}=n$

• $D_{\log }\ln (x)=\frac{1}{x\ln (x)}$

Residua pochodnej logarytmicznej

Jeżeli $f(z)$ jest funkcją holomorficzną (analityczną) wewnątrz obszaru ograniczonego $D$ i na jego brzegu $C$ zorientowanym dodatnio względem $D,$ która nie przyjmuje wartości 0 na $C$ to:

$Z=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz,$

gdzie $Z$ oznacza liczbę zer funkcji $f(z)$ wewnątrz $D$ (gdzie zero $k$-krotne liczy się jako $k$).

Jeśli w obszarze $D$ funkcja $f(z)$ jest meromorficzna, natomiast na $C$ funkcja ta nie ma ani zer, ani biegunów to

$Z-B=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz,$

gdzie dodatkowo $B$ oznacza liczbę biegunów funkcji $f(z)$ wewnątrz $D$ (gdzie biegun $k$-krotny liczy się jako $k$).

Zobacz też

• funkcja digamma