Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa

Wielowskaźnik $n$-wymiarowy to wektor

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ oraz $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ określa się:

• sumę i różnicę (po współrzędnych),

  $\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n);$

• porządek częściowy,

  $\alpha ⩽\beta ⟺{\alpha }_i⩽{\beta }_i{\mathrm{\forall }}_{i\in \{1,\dots ,n\}};$

• sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),

  $|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n;$

• silnię,

  $\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\dots {\alpha }_n!;$

• symbol Newtona,

  $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\dots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n});$

• potęgę,

  $x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n};$

• pochodną cząstkową wyższych rzędów,

  ${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\underset{2}{\overset{{\alpha }_2}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }},$ gdzie $\underset{i}{\overset{{\alpha }_i}{\partial }}:=\frac{{\partial }^{{\alpha }_i}}{\partial x_i^{{\alpha }_i}}.$

Niektóre zastosowania

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^k=\sum _{|\alpha |=k}\frac{k!}{\alpha !}{x}^{\alpha }$

Wzór Leibniza

Dla funkcji gładkich $f$ i $g$

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu ⩽\alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu }){\partial }^{\nu }f{\partial }^{\alpha -\nu }g.$

Szereg Taylora

Dla funkcji analitycznej $f$ o $n$ zmiennych jest

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}_0^n}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }.$

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |⩽n}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }+R_n(x,h),$

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

$R_n(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}\frac{h^{\alpha }}{\alpha !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^n{\partial }^{\alpha }f(x+th)dt.$

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci

Operator różniczki cząstkowej $n$-tego rzędu $n$ zmiennych zapisuje się formalnie jako

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |⩽N}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }.$

Całkowanie przez części

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ jest

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u({\partial }^{\alpha }v)dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }({\partial }^{\alpha }u)vdx.$

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie

Jeżeli $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ są wielowskaźnikami, a $x=(x_1,\dots ,x_n),$ to

${\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }=\{\begin{array}{cc}\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{x}^{\beta -\alpha },& \text{gdy}\alpha ⩽\beta ,\\ 0& \text{w p.p.}\end{array}$

Dowód

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli $\alpha ,\beta \in \{0,1,2,\dots \},$ wtedy

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}{x}^{\beta }=\{\begin{array}{cc}\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{x}^{\beta -\alpha },& \text{gdy}\alpha ⩽\beta ,\\ 0& \text{w p.p.}\end{array}(1)$

Załóżmy, że $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n),$ $\beta =({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n),$ $x=(x_1,\dots ,x_n).$ Wtedy

$\begin{array}{cc}{\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }& =\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\dots \partial x_n^{{\alpha }_n}}{x}_1^{{\beta }_1}\dots x_n^{{\beta }_n}\\ & =\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}}{x}_1^{{\beta }_1}\dots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n^{{\alpha }_n}}{x}_n^{{\beta }_n}.\end{array}$

Dla każdego $i\in \{1,\dots ,n\},$ funkcja $x_i^{{\beta }_i}$ zależy wyłącznie od $x_i.$ Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe $\frac{\partial }{\partial x_i}$ redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego $\frac{d}{d{x}_i}.$ Stąd z równania (1) wynika, że ${\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }$ znika, jeśli ${\alpha }_i>{\beta }_i$ dla przynajmniej jednego $i\in \{1,\dots ,n\}.$ W przeciwnym wypadku, tzn. gdy $\alpha ⩽\beta$ jako wielowskaźniki, wtedy

$\frac{d^{{\alpha }_i}}{d{x}_i^{{\alpha }_i}}{x}_i^{{\beta }_i}=\frac{{\beta }_i!}{({\beta }_i-{\alpha }_i)!}{x}_i^{{\beta }_i-{\alpha }_i}$

dla każdego $i,$ skąd wynika twierdzenie.

Bibliografia

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. Szablon:ISBN.