Wzór Leibniza

Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć $n$ -tą pochodną iloczynu funkcji^[1]. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór

Niech $f$ i $g$ będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu $n$ włącznie. Wtedy pochodna $n$ -tego rzędu iloczynu $f \cdot g$ wyraża się wzorem:

Szablon:Wzór

gdzie $(\binom{n}{k})$ to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a $f^{(0)} : = f .$ Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:

\partial^{α} (f g) = \sum_{β ⩽ α} (\binom{α}{β}) (\partial^{α - β} f) (\partial^{β} g) .

Dowód

Wzór

\frac{d^{n} f (x) g (x)}{d x^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i)} (x)

udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na $n .$

Dla $n = 1$ otrzymujemy:

\frac{d f (x) g (x)}{d x^{2}} = (\binom{1}{0}) f^{(0)} (x) g^{(1)} (x) + (\binom{1}{1}) f^{(1)} (x) g^{(0)} (x),

f^{(1)} (x) g (x) + f (x) g^{(1)} (x) = f^{(1)} (x) g (x) + f (x) g^{(1)} (x) .

Teraz udowodnimy ten wzór dla $n + 1,$ przy założeniu, że jest on spełniony dla $n$

\begin{matrix} \frac{d^{n + 1} f (x) g (x)}{d x^{n + 1}} & = \frac{d}{d x} \frac{d^{n} f (x) g (x)}{d x^{n}} = \frac{d}{d x} (\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i)} (x)) \\ = (\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i + 1)} (x) g^{(n - i)} (x)) + (\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x)) . \end{matrix}

Weźmy teraz dla pierwszego członu $i^{'} = i + 1 .$

\begin{matrix} \frac{d^{n + 1} f (x) g (x)}{d x^{n + 1}} & = (\sum_{i^{'} = 1}^{n + 1} (\binom{n}{i^{'} - 1}) f^{(i^{'})} (x) g^{(n - i^{'} + 1)} (x)) + (\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x)) \\ = \sum_{i = 0}^{n + 1} ((\binom{n}{i - 1}) + (\binom{n}{i})) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x) = \sum_{i = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n + 1 - i)} (x) . \end{matrix}

Uogólnienie

Istnieje podobny wzór, zachodzący dla $r$ funkcji $f_{1}, \dots, f_{r}$ różniczkowalnych i mających pochodne aż do $n$ -tego rzędu włącznie. Pochodna $n$ -tego rzędu iloczynu $f_{1} \dots f_{r} = Π_{i = 1}^{r} f_{i}$ wyraża się wzorem:

Szablon:Wzór

gdzie

(\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}}) : = \frac{n!}{n_{1}!, n_{2}!, \dots, n_{r}!}

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze Szablon:LinkWzór odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje $n .$

Dowód

Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na $r .$ Dla $r = 2$ wzór Szablon:LinkWzór staje się zwykłym wzorem Leibniza Szablon:LinkWzór:

\begin{matrix} \frac{d^{n}}{d x^{n}} \prod_{i = 1}^{2} f_{i} (x) & = \sum_{n_{1} + n_{2} = n} (\binom{n}{n_{1}, n_{2}}) \prod_{i = 1}^{2} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x) \\ = \sum_{n_{1} = 0}^{n} (\binom{n}{n_{1}, (n - n_{1})}) \frac{d^{n_{1}}}{d x^{n_{1}}} f_{1} (x) \frac{d^{n - n_{1}}}{d x^{n - n_{1}}} f_{2} (x) \\ = \sum_{n_{1} = 0}^{n} \frac{n!}{n_{1}! (n - n_{1})!} \frac{d^{n_{1}}}{d x^{n_{1}}} f_{1} (x) \frac{d^{n - n_{1}}}{d x^{n - n_{1}}} f_{2} (x) . \end{matrix}

Zakładamy więc, że wzór Szablon:LinkWzór zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $r > 2 .$ Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla $r + 1$ funkcji $f_{1}, \dots, f_{r}, f_{r + 1} .$ Na początek zapiszmy

\prod_{i = 1}^{r + 1} f_{i} (x) = (f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x)) .

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, $f_{r + 1}$ oraz $\prod_{i = 1}^{r} f_{i} :$

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x)) = \sum_{n_{r + 1} = 0}^{n} (\binom{n}{n_{r + 1}}) (\frac{d^{n_{r + 1}}}{d x^{n_{r + 1}}} f_{r + 1} (x)) (\frac{d^{n - n_{r + 1}}}{d x^{n - n_{r + 1}}} \prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x))

(wyrażenie $n_{r + 1}$ odgrywa rolę wskaźnika $i$ i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

(\frac{d^{n - n_{r + 1}}}{d x^{n - n_{r + 1}}} \prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x)) = \sum_{\begin{matrix} n_{1} + \dots + n_{r} \\ = n - n_{r + 1} \end{matrix}} (\binom{n - n_{r + 1}}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}}) \prod_{i = 1}^{r} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x) .

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:

\begin{matrix} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x)) & = \sum_{n_{r + 1} = 0}^{n} (\binom{n}{n_{r + 1}}) (\frac{d^{n_{r + 1}}}{d x^{n_{r + 1}}} f_{r + 1} (x)) (\sum_{\begin{matrix} n_{1} + \dots + n_{r} \\ = n - n_{r + 1} \end{matrix}} (\binom{n - n_{r + 1}}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}}) \prod_{i = 1}^{r} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x)) \\ = \sum_{n_{r + 1} = 0}^{n} \sum_{\begin{matrix} n_{1} + \dots + n_{r} \\ = n - n_{r + 1} \end{matrix}} (\binom{n}{n_{r + 1}}) (\binom{n - n_{r + 1}}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}}) (\frac{d^{n_{r + 1}}}{d x^{n_{r + 1}}} f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x)) . \end{matrix}

Korzystając z faktu, że dla liczb $n, n_{1}, \dots, n_{r}, n_{r + 1}$ zachodzi

(\binom{n - n_{r + 1}}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}}) (\binom{n}{n_{r + 1}}) = \frac{(n - n_{r + 1})!}{n_{1}! n_{2}! \dots n_{r}!} \frac{n!}{n_{r + 1}! (n - n_{r + 1})!} = \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! \dots n_{r + 1}!} = (\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r}, n_{r + 1}}),

otrzymujemy

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} f_{i} (x)) = \sum_{n_{r + 1} = 0}^{n} \sum_{\begin{matrix} n_{1} + \dots + n_{r} \\ = n - n_{r + 1} \end{matrix}} (\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r + 1}}) (\frac{d^{n_{r + 1}}}{d x^{n_{r + 1}}} f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x)) .

Dla ustalonego $n_{r + 1}$ ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci

(\frac{d^{n_{r + 1}}}{d x^{n_{r + 1}}} f_{r + 1} (x)) (\prod_{i = 1}^{r} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x)) = (\prod_{i = 1}^{r + 1} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x)) .

Dla ustalonego $n_{r + 1},$ sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach $n_{1}, \dots, n_{r},$ których suma daje $n - n_{r + 1} .$ Ale ponieważ robimy tak dla każdego $n_{r + 1},$ od 0 do $n,$ to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach $n_{1}, \dots, n_{r}, n_{r + 1},$ których suma daje $n$ i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (\prod_{i = 1}^{r + 1} f_{i} (x)) = \sum_{\begin{matrix} n_{1} + \dots + n_{r} \\ + n_{r + 1} = n \end{matrix}} (\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{r + 1}}) (\prod_{i = 1}^{r + 1} \frac{d^{n_{i}}}{d x^{n_{i}}} f_{i} (x)),

co kończy dowód indukcyjny.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-23].
Szablon:Otwarty dostęp Leibniz rule Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Szablon:Cytuj stronę

Szablon:Rachunek różniczkowy

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ Szablon:Encyklopedia PWN

[epwn-1] Szablon:Encyklopedia PWN

[1]

Wzór Leibniza

Spis treści

Wzór

Dowód

Uogólnienie

Dowód

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Wzór Leibniza

Wzór

Dowód

Uogólnienie

Dowód

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj