Miara spektralna

Szablon:Spis treści Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $𝔐$ σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech $H$ będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech $L (H)$ oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni $H .$

Funkcję $E : 𝔐 \to L (H)$ nazywamy miarą spektralną w przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$E (B)$ jest operatorem rzutowym dla $B \in 𝔐 .$
$E (X) = I,$
$E (B_{1} \cap B_{2}) = E (B_{1}) \circ E (B_{2}), B_{1}, B_{2} \in 𝔐$
Funkcja $B \mapsto E (B) x, x \in H, B \in 𝔐$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności

Gdy $B_{1}, B_{2} \in 𝔐$ oraz $B_{1} \subseteq B_{2},$ to $E (B_{1}) ⩽ E (B_{2})$ w sensie $(E (B_{1}) h | h) ⩽ (E (B_{2}) h | h), h \in H .$ Ponieważ $‖ E (B_{1}) h ‖^{2} = (E (B_{1}) h | h),$ więc z powyższego wynika, że $E (B_{1}) H \subseteq E (B_{2}) H$ – operator $E (B_{1})$ rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni $E (B_{2}) H .$
Jeżeli $h, k \in H$ oraz $B \in 𝔐,$ to równość $E_{h, k} (B) : = (E (B) h | k)$ określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez $‖ h ‖ ‖ k ‖ .$

Przykład

Niech $X$ będzie przestrzenią zwartą oraz $𝔐 = ℬ (X)$ – σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli $μ : ℬ (X) \to [0, \infty]$ jest miarą oraz $H = L^{2} (μ)$ oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni $X,$ całkowalnych z kwadratem w sensie $μ,$ to funkcja dana wzorem $E (B) f = f \cdot 𝟏_{B}, B \in ℬ (X), f \in H$ jest miarą spektralną, gdzie $𝟏$ oznacza funkcję charakterystyczną.

Zobacz też

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę