Hermitowska miara spektralna

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $ℬ(X)$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz $L(H)$ oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta $H.$

Funkcję $E:ℬ(X)\to L(H)$ nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni $X$ (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. $E(B)$ jest operatorem samosprzężonym dla $B\in ℬ(X).$
2. $E(X)=I,$
3. $E(B_1\cap B_2)=E(B_1)\circ E(B_2),B_1,B_2\in ℬ(X)$
4. Funkcja $B\mapsto E(B)x,x\in H,B\in ℬ(X)$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności

Niech $E:ℬ(X)\to L(H)$ będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej $X.$

• $(E(B)x|x)=\Vert E(B)x{\Vert }^2$ dla $B\in ℬ(X).$
• Jeżeli $B_1,B_2\in ℬ(X)$ są rozłączne, to $E(B_1)H\perp E(B_2)H$ oraz $\Vert E(\cdot )x\Vert (X)=\Vert x\Vert ,x\in H.$
• Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej $g:X\to ℂ$ operator

$\mathrm{\Omega }(g)x=\underset{X}{\int }g(\lambda )E(d\lambda )x$

jest liniowy i ciągły, a jeżeli $g(X)\subseteq ℝ,$ to także samosprzężony. Ponadto

$\Vert \mathrm{\Omega }(g)\Vert ⩽\sup \{|g(\lambda )|:\lambda \in X\},\Vert \mathrm{\Omega }(g){\Vert }^2=\underset{X}{\int }|g(\lambda ){|}^2\Vert E(d\lambda )x{\Vert }^2,x\in H$

oraz $\mathrm{\Omega }(g_1,g_2)=\mathrm{\Omega }(g_1)\circ \mathrm{\Omega }(g_2)$ dla $g_1,g_2:X\to ℂ$ ograniczonych funkcji borelowskich.

• Jeśli $X$ jest zwartą przestrzenią metryczną oraz $E_1,E_2$ są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in X$ istnieje funkcja ciągła $f:X\to ℝ,$ że $f({\lambda }_1)\ne f({\lambda }_2)$ oraz

$\underset{X}{\int }f(\lambda )E_1(d\lambda )x=\underset{X}{\int }f(\lambda )E_2(d\lambda )x,x\in H,$ to $E_1=E_2.$

Przykład

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta $H$ jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tej przestrzeni. Dalej, niech $K\subset ℝ$ będzie zbiorem zwartym oraz $({\lambda }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

$\text{cl}\{{\lambda }_n:n\in \mathbb{N}\}=K\ne \{{\lambda }_n:n\in \mathbb{N}\}.$

Wówczas operator $\mathrm{\Lambda }:H\to H$ dany wzorem

$\mathrm{\Lambda }x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_n(x|e_n)e_n$

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo $\sigma (\mathrm{\Lambda })=K.$

Funkcja $E:ℬ(X)\to L(H)$ dana wzorem

$E(B)x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{𝟏}}_B({\lambda }_n)(x|e_n)e_n,x\in H,$

gdzie ${\mathrm{𝟏}}_{\cdot }$ oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

$\mathrm{\Lambda }x=\underset{\sigma (\mathrm{\Lambda })}{\int }\lambda E(d\lambda )x,x\in H.$

Literatura

1. Szablon:Cytuj książkę