Macierz idempotentna

Macierz idempotentna – macierz kwadratowa $A\in M_n(𝕂)$ spełniająca równość: $A^2=A.$

Przykłady

• $\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& 4\\ -1& -2& 4\\ -1& -2& 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Własności

• Każda macierz jednostkowa jest idempotentna. Jeśli macierz idempotentna nie jest jednostkowa, to jest osobliwa.
• Wartości własne macierzy idempotentnej są równe zeru lub jedności. Wielomian charakterystyczny macierzy idempotentnej $A$ jest postaci $F_A(\lambda )=(1-\lambda {)}^i\cdot {\lambda }^j.$
• Każdą macierz idempotentną można zdiagonalizować do postaci

$\left[\begin{array}{cc}{I}_{i\times i}& {\mathrm{\Theta }}_{i\times j}\\ {\mathrm{\Theta }}_{j\times i}& {\mathrm{\Theta }}_{j\times j}\end{array}\right].$

W powyższej postaci klatkowej macierz $I$ jest (kwadratową) macierzą jednostkową, macierze $\mathrm{\Theta }$ są macierzami zerowymi odpowiednich wymiarów.
Oczywiście każda macierz powyższej postaci jest macierzą idempotentną.

• Jeśli $A$ jest macierzą idempotentną, to dla dowolnej macierzy nieosobliwej $C$ macierz $CA{C}^{-1}$ też jest macierzą idempotentną.

Ponadto

Każda macierz idempotentna jest macierzą pewnego rzutu w przestrzeni liniowej.

Zobacz też

• idempotentność
• mnożenie macierzy