Kompleks de Rhama

Szablon:Spis treści Kompleksem de Rhama w przestrzeni ${ℝ}^n$ nazywamy kompleks łańcuchowy

${\mathrm{\Omega }}^0({ℝ}^n)\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1({ℝ}^n)\stackrel{d}{\to }\cdots \stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^n({ℝ}^n),$

gdzie:

• ${\mathrm{\Omega }}^q({ℝ}^n)$ jest ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$-modułem q-form różniczkowych

dla każdego $q\in \{1,2,\dots ,n\},$

• $d$ jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora $d$ nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w ${ℝ}^2$ zamknięte formy postaci

$fdx+gdy,$

należy rozwiązać równanie różniczkowe

$\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=0.$

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

$\underset{\partial D}{\int }\omega =\underset{D}{\int }d\omega ,$

gdzie $D$ jest obszarem w ${ℝ}^n,$ a $\partial D$ – jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w ${ℝ}^n,$ można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni ${ℝ}^n$ można rozważać przestrzeń ${ℂ}^n$ nad ciałem liczb zespolonych $ℂ.$

Uściślenie definicji

Algebra form różniczkowych

Niech $x_1,\dots ,x_n$ będą współrzędnymi w ${ℝ}^n.$ Niech ${\mathrm{\Omega }}^{*}$ będzie algebrą nad ciałem $ℝ$ generowaną symbolami $d{x}_1,\dots ,d{x}_n$ i o działaniu $\wedge ,$ dla których spełnione są dwie zależności:

• $d{x}_i\wedge d{x}_i=(d{x}_i{)}^2=0,$
• $d{x}_i\wedge d{x}_j=-d{x}_j\wedge d{x}_i,i\ne j.$

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem $ℝ$ algebra ${\mathrm{\Omega }}^{*}$ ma bazę:

$1,$

$d{x}_i,$

$d{x}_i\wedge d{x}_j$ dla $i<j,$

$d{x}_i\wedge d{x}_j\wedge d{x}_k$ dla $i<j<k,$

...,

$d{x}_1\wedge \cdots \wedge d{x}_n.$

Algebrą ${\mathrm{\Omega }}^{*}({ℝ}^n)$ jest algebra

${\mathrm{\Omega }}^{*}({ℝ}^n)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n){\otimes }_{ℝ}{\mathrm{\Omega }}^{*},$ gdzie ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ jest algebrą funkcji gładkich na ${ℝ}^n.$

Elementy algebry ${\mathrm{\Omega }}^{*}({ℝ}^n)$ nazywamy formami różniczkowalnymi na ${ℝ}^n.$

Jeżeli $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^{*}({ℝ}^n),$ to formę $\omega$ można przedstawić jednoznacznie w postaci:

$\omega =\sum f_{i_1\cdots i_q}d{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{i_q}=\sum f_{I}d{x}_I,$ gdzie $1⩽i_1<i_2<\cdots <i_q⩽n,$ a $f_{i_1\cdots i_q}\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$

Jeśli dla każdego składnika sumy $\omega =\sum f_{i_1\cdots i_q}d{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{i_q}$ liczba q jest stała, to formę $\omega$ nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

$\omega \in {\mathrm{\Omega }}^q({ℝ}^n),$

gdzie ${\mathrm{\Omega }}^q({ℝ}^n)$ jest modułem nad pierścieniem ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$ Można to także zapisać $deg(\omega )=q.$

W module ${\mathrm{\Omega }}^{*}({ℝ}^n)$ określona jest gradacja

${\mathrm{\Omega }}^{*}({ℝ}^n)=⨁{}_{q=0}^n{\mathrm{\Omega }}^q({ℝ}^n).$

Operator d różniczkowania form różniczkowych

Operator różniczkowania form różniczkowych

$d:{\mathrm{\Omega }}^q({ℝ}^n)\to {\mathrm{\Omega }}^{q+1}({ℝ}^n)$

jest określony w następujący sposób:

1. Jeśli $f\in {\mathrm{\Omega }}^0({ℝ}^n),$ to $df=\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i.$
2. Jeśli $\omega =\sum f_{I}d{x}_I,$ to $d\omega =d{f}_I\wedge d{x}_I.$

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu – formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości $d^2\omega =0.$

Własności operatora d

• Jeśli $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^p({ℝ}^n),\tau \in {\mathrm{\Omega }}^q({ℝ}^n),$ to

$d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1{)}^{deg\omega }\omega \wedge \tau .$

• $d^2=0;$ dowodzi się tej równości w dwóch etapach

dla funkcji $d^{2}f=d\left(\sum _i\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i\right)=\sum _{i,j}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j},$ gdzie współczynniki $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$ są symetryczne, a iloczyny $d{x}_i\wedge d{x}_j$ są antysymetryczne, bo $d{x}_i\wedge d{x}_j=-d{x}_j\wedge d{x}_i,$ skąd $d^{2}f=0$

dla form $\omega =f_{I}d{x}_I$ mamy $d^2\omega =d(d{f}_I\wedge d{x}_I)=d^2{f}_I\wedge d{x}_I=0.$

Przykłady

• Jeśli $\omega =xdy,$ to $d\omega =dx\wedge dy.$
• Dla przypadku przestrzeni ${ℝ}^3$ moduły ${\mathrm{\Omega }}^0({ℝ}^3)$ i ${\mathrm{\Omega }}^3({ℝ}^3)$ mają rangę 1 nad ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3).$ Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3)\simeq {\mathrm{\Omega }}^0({ℝ}^3)\simeq {\mathrm{\Omega }}^3({ℝ}^3),$

a konkretnie

$f⟷f⟷fdx\wedge dy\wedge dz.$

• Dla przypadku przestrzeni ${ℝ}^3$ moduły ${\mathrm{\Omega }}^1({ℝ}^3)$ i ${\mathrm{\Omega }}^2({ℝ}^3)$ mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3){\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3\simeq {\mathrm{\Omega }}^1({ℝ}^3)\simeq {\mathrm{\Omega }}^2({ℝ}^3),$

a konkretnie

$X=(f_1,f_2,f_3)⟷f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz⟷f_{1}dx\wedge dy-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dy\wedge dz.$

• W przestrzeni trójwymiarowej ${ℝ}^3:$

Dla funkcji f forma $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$ jest gradientem.

Dla 1-formy $\omega =f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz$ forma $d\omega =(\frac{\partial f_3}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial z})dy\wedge dz+(\frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial f_3}{\partial x})dx\wedge dz+(\frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y})dx\wedge dy$ jest rotacją.

Dla 2-formy $\omega =f_{1}dy\wedge dz-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dx\wedge dy$ forma $d\omega =(\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz$ jest dywergencją.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę