Ciąg Mayera-Vietorisa

W topologii algebraicznej ciąg Mayera-Vietorisa – ciąg dokładny wiążący ze sobą grupy homologii singularnej dwu przestrzeni, ich sumy oraz części wspólnej. Ciąg Mayera-Vietorisa jest narzędziem pozwalającym m.in. obliczać grupy homologii przestrzeni będących sumą innych przestrzeni, których grupy homologii znamy.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną taką, że $A,B\subseteq X$ oraz wnętrza $A$ i $B$ pokrywają $X.$ Można wtedy utworzyć następujący ciąg dokładny:

$\cdots \to H_{n+1}(X)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_n(A\cap B)\stackrel{(i_{*},j_{*})}{\to }{H}_n(A)\oplus H_n(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_n(X)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_0(A)\oplus H_0(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_0(X)\to 0,$

gdzie i: A∩B ↪ A, j: A∩B ↪ B, k: A ↪ X, and l: B ↪ X są włożeniami a $\oplus$ oznacza sumę prostą grup abelowych.

Homologia zredukowana

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla zredukowanych grup homologii pod warunkiem że przecięcie $A\cap B$ jest niepuste.

Podstawowe zastosowania

n-sfera

Przykładowy rozkład ${𝕊}^2$ na sumę dwu podprzestrzeni homeomorficznych z ${𝔻}^2$

Niech $X={𝕊}^n$ i niech $A,B$ będą dowolnymi podzbiorami ${𝕊}^n$ homeomorficznymi z ${𝔻}^{n+1}$ takimi, że część wspólna jest homotopijnie równoważna ${𝕊}^{n-1}$ (np. $A={𝕊}^n\setminus \{p\},B={𝕊}^n\setminus \{q\}$), gdzie $p,q\in {𝕊}^n$ oraz $p\ne q.$ Wtedy $A$ oraz $B$ mają trywialne zredukowane grupy homologii, dodatkowo przekrój $A\cap B$ jest homotopijnie równoważny z $S^{n-1}.$ W takim razie nietrywialna część ciągu Meyersa-Vietorisa daje:

$\cdots ⟶0⟶{\tilde{H}}_n\left(S^k\right)\stackrel{\stackrel{}{{\partial }_{*}}}{\to }{\tilde{H}}_{n-1}\left(S^{k-1}\right)⟶0⟶\cdots$

Z dokładności ciągu natychmiast otrzymujemy, że ∂_* jest izomorfizmem grup przy użyciu indukcji matematycznej i znajomości zredukowanej homologii S⁰ pozwala obliczyć:

${\tilde{H}}_n\left(S^k\right)\cong {\delta }_{kn}\mathbb{Z}=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& \text{if }n=k\\ 0& \text{if }n\ne k\end{array}.$

Butelka Kleina

Rozkład butelki Kleina na dwie wstęgi Möbiusa: $A$ (niebieska część) oraz $B$ (czerwona część).

Bardziej zaawansowanym przykładem zastosowania ciągu Mayeraa-Vietorisa jest wyznaczenie grup homologii butelki Kleina $X.$ Można rozbić butelkę Kleina na dwa podzbiory homeomorficzne ze wstęgą Möbiusa, a w takim razie homotopijnie równoważne okręgowi. Okazuje się, że także ich część wspólna jest homotopijnie równoważna okręgowi. W takim razie nietrywialna część ciągu Mayera-Vietorisa daje:

$0\to H_2(X)\to \mathbb{Z}\stackrel{\stackrel{}{\alpha }}{\to }\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(X)\to 0.$

Trywialna część ciągu pokazuje trywialne homologie dla wymiarów wyższych niż 2. Mapa $\alpha$ (dla zwyczajnych baz pętli na wstęgach Möbiusa) wysyła 1 do (2, −2) (okrąg będący krawędzią wstęgi zawija się dwukrotnie dookoła wstęgi). W takim razie $\alpha$ jest iniekcją co wymusza $H_2(X)=0.$ Finalnie, wybierając (1, 0) i (1, −1) jako bazę Z², otrzymujemy:

${\tilde{H}}_n(X)\cong {\delta }_{1n}(\mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2& \text{if }n=1\\ 0& \text{if }n\ne 1\end{array}.$

Bukiet dwóch przestrzeni

Rozkład bukietu dwóch sfer $X$

Niech $X$ będzie bukietem dwóch przestrzeni $K$ oraz $L$ oraz że punkt bazowy bukietu jest retraktem otwartych otoczeń leżących odpowiednio w $K$ oraz $L.$ Przyjmując $A=K\cup V$ oraz $B=U\cup L$ (patrz rysunek) mamy $A\cup B=X.$ Przestrzeń $A\cap B=U\cup V$ jest ściągalna.

Wówczas otrzymujemy:

${\tilde{H}}_n(K\vee L)\cong {\tilde{H}}_n(K)\oplus {\tilde{H}}_n(L)$

dla wszystkich $n.$ Wynik ten jest ogólniejszą wersją twierdzenia Seiferta-van Kampena (a dla $n=0$ jest abelianizacją tego twierdzenia). W szczególnym przypadku dwóch sfer, korzystając z homologii sfer, otrzymujemy:

${\tilde{H}}_n(S^2\vee S^2)\cong {\delta }_{2n}(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}& \text{if }n=2\\ 0& \text{if }n\ne 2\end{array}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę