Bukiet (topologia)

Szablon:Dopracować Bukietem dwóch przestrzeni topologicznych nazywamy przestrzeń topologiczną powstałą poprzez „sklejenie” tych przestrzeni w jednym punkcie. Mówiąc ściśle, jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi z punktami wyróżnionymi $x_0\in X,y_0\in Y,$ to przez ich bukiet rozumiemy przestrzeń ilorazową sumy rozłącznej $X\bigsqcup Y$ tych przestrzeni poprzez najmniejszą relację równoważności utożsamiającą punkty $x_0$ i $y_0:$

$X\vee Y=(X⨿Y)/\{x_0\sim y_0\}.$

Ogólniej, jeśli $\{X_i{\}}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi $\{p_i\},$ to bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń

$\underset{i}{\bigvee }{X}_i:=\coprod _i{X}_i/\{p_i\sim p_j\mid i,j\in I\}.$

Rezultat powyższej konstrukcji zależy na ogół od wyboru punktów wyróżnionych $p_i\in X_i.$

Przykłady

Bukiet dwóch okręgów jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie cyfry 8.

Rozważmy najmniejszą relację równoważności $\sim$ utożsamiającą wszystkie punkty leżące na równiku sfery n-wymiarowej ${𝕊}^n.$ Przestrzeń ilorazowa ${𝕊}^n/\sim$ jest homeomorficzna z bukietem ${𝕊}^n\vee {𝕊}^n.$

Rozważmy dwie kopie $I,J$ odcinka jednostkowego $[0,1].$ Niech $i\in I,j\in J$ będą punktami wyróżnionymi. Jeśli $i,j\in \{0,1\},$ to bukiet $I\vee J$ jest homeomorficzny z odcinkiem. Jeśli $i\in \{0,1\}$ i $0<j<1$ (lub $0<i<1$ i $j\in \{0,1\}$), to bukiet $I\vee J$ jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery T. Jeśli zaś $0<i,j<1,$ to $I\vee J$ jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery X.

Opis teoriokategoryjny

Z punktu widzenia teorii kategorii bukiet jest koproduktem w kategorii przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi. Bukiet interpretować można również jako koprodukt włóknisty (pushout) diagramu $X\leftarrow \{\bullet \}\to Y$ w kategorii przestrzeni topologicznych ($\{\bullet \}$ oznacza tu dowolną przestrzeń jednopunktową).

Własności

Bukiet przestrzeni $X,Y$ z punktami wyróżnionymi $x_0,y_0$ jest homeomorficzny z następującą podprzestrzenią produktu $X\times Y$ tych przestrzeni:

$(X\times \{y_0\})\cup (\{x_0\}\times Y).$

Własność ta nie przenosi się na bukiety nieskończonych rodzin przestrzeni topologicznych.

Z twierdzenia Seiferta-van Kampena wynika, że jeśli przestrzenie $X,Y$ są odpowiednio „dobre” (np. są CW kompleksami), to grupa podstawowa bukietu tych przestrzeni jest izomorficzna z produktem wolnym grup podstawowych przestrzeni $X$ i $Y.$