Funkcja Dirichleta

Szablon:Inne znaczenia Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych $\mathbb{Q},$ tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość $1,$ gdy argument jest liczbą wymierną i wartość $0,$ gdy argument jest liczbą niewymierną.

Formalnie funkcję Dirichleta można zapisać wzoremSzablon:Odn

${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{dla }x\in \mathbb{Q},\\ 0& \text{dla }x\notin \mathbb{Q}.\end{array}$

PonadtoSzablon:Fakt:

${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}(m!\pi x).$

Własności

Funkcja Dirichleta ma własności:

• jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny); stąd wynika, że jest wszędzie nieróżniczkowalna,
• jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
• zbiór jej ekstremów jest mocy continuum,
• nie jest całkowalna w sensie RiemannaSzablon:Odn – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
• jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, przy czym jej całka Lebesgue’a na dowolnym przedziale jest równa zeruSzablon:Odn, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue’a zero.

Zobacz też

• funkcja Riemanna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-26].
• Szablon:Otwarty dostęp Dirichlet-function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].