Funkcja Riemanna

Wykres dla przedziału [0,1]

Funkcja Riemanna – funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{gdy }x\text{ jest niewymierne}\\ \frac{1}{n}& \text{gdy }x=\frac{m}{n}\text{ dla pewnego ułamka nieskracalnego }\frac{m}{n}\text{ o dodatnim }n\end{array}$

W szczególności, $f(x)=1$ dla wszystkich argumentów $x$ całkowitych, ponieważ dla każdej liczby całkowitej x nieskracalną postacią ułamka $\frac{m}{n}=x$ jest $\frac{x}{1}.$

Nazwa pochodzi od nazwiska Bernharda Riemanna, jednak występują też inne nazwy.

Własności

• Ciągłość: Funkcja ta jest ciągła w każdym niewymiernym punkcie swojej dziedziny, i nieciągła w punktach wymiernych.
• Całkowalność: Funkcja Riemanna jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym $[a,b],$ ponieważ miara zbioru punktów nieciągłości jest równa 0. Ponadto,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=0.$

Zobacz też

• funkcja Dirichleta
• twierdzenie Blumberga