Kryterium Raabego

Kryterium Raabego – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1832 przez szwajcarskiego matematyka, Josepha Ludwiga Raabego. W 1834 Raabe opublikował wersję uogólnioną kryterium.

Kryterium

Niech dany będzie szereg

Szablon:Wzór

o wyrazach dodatnich oraz niech

$R_n=n\cdot (\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>1$ spełniona jest nierówność

$R_n⩾r,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$R_n⩽1,$

to szereg Szablon:LinkWzór rozbieżnySzablon:OdnSzablon:Odn.

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{R}_n>1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli dla prawie wszystkich $n$ zachodzi

$R_n⩽1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna kryterium Raabego

Spotykana jest też następująca graniczna, słabsza wersja kryterium Raabego nazywana wersją graniczną bądź limesowąSzablon:Odn:

Jeżeli granica

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n$

istnieje, to

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $R>1$ oraz
• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $R<1$Szablon:Odn.

Przykład zastosowania

Niech $x>0$ będzie liczbą rzeczywistą oraz niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot \dots \cdot (x+n)}.$

Wówczas

$R_n=x\cdot \frac{n}{n+1},$

skąd

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n=x,$

a więc z kryterium Raabego (w wersji granicznej) rozważany szereg jest zbieżny, gdy $x>1$ oraz rozbieżny gdy $x<1.$ W przypadku $x=1$ rozważany szereg to (rozbieżny) szereg harmonicznySzablon:Odn.

Szereg harmoniczny

W przypadku szeregu harmonicznego

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

dla wszystkich liczb naturalnych $n$ mamy

$R_n=n\cdot (\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=n\cdot (\frac{n+1}{n}-1)=1,$

więc kryterium Raabego potwierdza rozbieżność tego szeregu. Sama rozbieżność szeregu harmonicznego jest jednak wykorzystywana w dowodzie kryterium (zob. Dowód).

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Jeśli ciąg $(R_n)$ maleje do $1,$ to kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Istotnie, dla szeregu

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot {\ln }^{2}n}$

ciąg

$R_n=n\cdot (\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=n\cdot (\frac{(n+1){\ln }^2(n+1)}{n{\ln }^{2}n}-1)$

jest ciągiem malejącym do $1.$ Ale na mocy kryterium Jermakowa szereg jest zbieżnySzablon:Odn.

Z drugiej strony dla szeregu

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^{n-1}\cdot [(n-1)!{]}^2}{[(2n-1)!!{]}^2},$

ciąg

$R_n=1+\frac{1}{4n}\to 1^{+}$

maleje do $1.$ Ale na mocy kryterium Schlömilcha szereg ten jest rozbieżny.

Przykłady te pokazują, że twierdzeniu nie można warunku

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>1$ spełniona jest nierówność $R_n>r$

zastąpić warunkiem

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność $R_n>1.$

Inaczej mówiąc, dla dostatecznie dużych $n$ zbiór elementów ciągu $(R_n)$ musi być izolowany od liczby $1.$

Porównanie wersji kryterium

Niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{1\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot \dots \cdot (n^2+n+1)}.$

W tym przypadku

$R_n=n\cdot (\frac{n^2+3n+3}{n^2+2n+1}-1)=\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1},$

a stąd

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n=1,$

tj. wersja graniczna kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony, dla wszystkich $n$ zachodzi

$R_n<1,$

a więc na mocy (oryginalnego) kryterium Raabego rozważany szereg jest rozbieżnySzablon:Odn. Przykład ten pokazuje, że wersja graniczna kryterium Raabego jest słabsza od oryginalnej.

Dowód

Idea dowodu kryterium Raabego polega na porównywaniu danego szeregu z szeregiem harmonicznym

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},$

który jest zbieżny dla $s>1$Szablon:Odn oraz rozbieżny dla $s=1$.

Niech dla szeregu Szablon:LinkWzór zachodzi $R_n⩾r$ dla pewnego $r>1$ i dostatecznie dużych $n.$ Stąd także

$\frac{a_n}{a_{n+1}}⩾1+\frac{r}{n}.$

Niech $s$ będzie dowolną liczbą spełniającą $1<s<r.$ Z uwagi na to, że

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(1+\frac{1}{n}{)}^s-1}{\frac{1}{n}}=s,$Szablon:Odn

dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$\frac{(1+\frac{1}{n}{)}^s-1}{\frac{1}{n}}<r,$

tj.

${(1+\frac{1}{n})}^s<1+\frac{r}{n}.$

Oznacza to, że

$\frac{a_n}{a_{n+1}}>{(1+\frac{1}{n})}^s,$

czyli

$\frac{a_{n+1}}{a_n}<{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^s=\frac{\frac{1}{(n+1{)}^s}}{\frac{1}{n^s}}.$

Po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego $(s>1),$ a więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest zbieżny.

W przypadku, gdy od pewnego wyrazu zachodzi nierówność $R_n⩽1,$ to zachodzi także nierówność

$\frac{a_{n+1}}{a_n}⩾\frac{n}{n+1}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}},$

więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest rozbieżny, gdyż po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów rozbieżnego szeregu harmonicznego $(s=1).$

Dowód w oparciu o kryterium Kummera

Szablon:Osobny artykuł Z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika, że ciąg $c_n=n$ spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

$K_n=n\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)=R_n-1,$

gdzie $K_n$ jest takie jak w wypowiedzi kryterium Kummera. Wynika stąd bezpośrednio kryterium RaabegoSzablon:Odn.

Kryterium Raabego według Knoppa

Knopp w swojej monografiiSzablon:Odn podaje następującą wersję kryterium Raabego dla szeregu Szablon:LinkWzór. Niech

${\hat{R}}_n=n\cdot (1-\frac{a_{n+1}}{a_n})(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\hat{R}}_n>1$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli dla prawie wszystkich $n,$ $R_n⩽1,$ to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny.

Kryteria te jednak nie są równoważne. Istotnie, w przypadku szeregu

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-1)!\cdot n!\cdot 4^n}{(2n)!\cdot \sqrt{n}}$

ciąg

$R_n=1+\frac{1}{8n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$

maleje do 1, a więc oryginalne kryterium Raabego nie rozstrzyga zbieżności. Z drugiej jednak strony,

${\hat{R}}_n=1-\frac{3}{8n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$

rośnie do 1, a więc na mocy kryterium Raabego w wersji Knoppa, rozważany szereg jest rozbieżnySzablon:Odn.

Porównanie z kryterium d’Alemberta

Szablon:Osobny artykuł Kryterium Raabego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta w następującym sensie. Jeżeli istnieje granica

$D=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$

i jest ona różna od $1,$ to granica $R$ ciągu $(R_n)$ również istnieje oraz

• $R=\mathrm{\infty },$ gdy $D<1,$
• $R=-\mathrm{\infty },$ gdy $D>1.$

Oznacza to, że jeżeli kryterium d’Alemberta rozstrzyga zbieżność danego szeregu o wyrazach nieujemnych, to tym bardziej rozstrzyga ją kryterium RaabegoSzablon:OdnSzablon:Odn. Przykładem szeregu, którego zbieżność rozstrzyga kryterium Raabego, ale kryterium d’Alemberta już nie, jest

$1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{1}{2n+1},$Szablon:Odn

gdzie !! jest symbolem dwusilni. Istotnie, w tym przypadku

$D=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(2n-1{)}^2}{2n\cdot (2n+1)}=1,$

a zatem kryterium d’Alemberta się nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony

$R_n=n\cdot (\frac{2n\cdot (2n+1)}{(2n-1{)}^2}-1)=\frac{(6n-1)n}{(2n-1{)}^2}.$

Ponieważ

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n=\frac{3}{2}>1,$

z kryterium Raabego wynika zbieżność rzeczonego szeregu.

Porównanie z kryterium Schlömilcha

Szablon:Osobny artykuł Kryterium Schlömilcha rozstrzyga o zbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wtedy i tylko wtedy, gdy o zbieżności Szablon:LinkWzór rozstrzyga kryterium RaabegoSzablon:Odn. Nie jest tak w przypadku stwierdzaniu rozbieżności szeregów.

Niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^{n-1}[(n-1)!{]}^2}{[(2n-1)!!{]}^2}.$

Wówczas

$R_n=1+\frac{1}{4n}\to 1^{+},$

tj. ciąg $(R_n)$ maleje do $1,$ a więc kryterium Raabego nie rozstrzyga. Z drugiej jednak strony

$S_n=n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2})<1$

dla dostatecznie dużych $n$ (zob. sformułowanie kryterium Schlömilcha), a więc rozważany szereg jest rozbieżnySzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Blackie & Son Ltd., London-Glasgow 1990.
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Franciszek Prus-Wiśniowski, A Refinement of Raabe’s Test, The American Mathematical Monthly, 115, No. 3 (Mar., 2008), 249–252.
• Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests, Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119–130.
• B. Ram, V.K. Srinivasan, Remarks on Raabe’s test in infinite series, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 9:3 (1978), 361–363.
• Szablon:Cytuj książkę