Kryterium Jermakowa

Kryterium Jermakowa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych udowodnione przez W.P. Jermakowa.

Twierdzenie

Niech $f:[1;\mathrm{\infty })\to ℝ$ będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych $x,$ tj. $x⩾x_0$ dla pewnego $x_0,$ spełniona jest nierówność

$\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)}⩽q<1,$

to szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych $x$ zachodzi nierówność

$\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)}⩾1,$

to szereg ten jest rozbieżnySzablon:Odn.

Przykłady zastosowania

• Niech $r>0$ oraz

$f(x)=\frac{1}{x\cdot {\ln }^{1+r}(x)}.$

Wówczas

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\ln }^{1+r}(x)}{x^r}=0,$

a więc dla dostatecznie dużych $x$ wyrażenie to nie przekracza, na przykład, $q=1/2.$ Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot {\ln }^{1+r}(n)}$

jest zbieżnySzablon:Odn.

• Niech

$f(x)=\frac{1}{x\cdot \ln x\cdot \ln \ln x}.$

Wówczas

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)}=\mathrm{\infty },$

a więc dla dostatecznie dużych $x$ wyrażenie to jest większe o $1.$ Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot \ln n\cdot \ln \ln n}$

jest rozbieżnySzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę