Liczba Heegnera

Liczba Heegnera (nazwana tak przez Conwaya i Guya) – dodatnia liczba całkowita bezkwadratowa $d,$ taka że urojone ciało kwadratowe $Q(\sqrt{-d})$ ma liczbę klas równą 1. Równoważnie jej pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczny rozkładSzablon:Odn.

Wyznaczanie takich liczb jest przypadkiem szczególnym problemu liczby klas. Kryją się one również w kilku frapujących wynikach z teorii liczb.

Według twierdzenia (Bakera-)Starka-Heegnera jest dokładnie dziewięć liczb Heegnera:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Wynik ten został podany przez Gaussa, a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952Szablon:Odn. Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967Szablon:Odn). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielkaSzablon:Odn.

Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze

Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze

$n^2-n+41,$

który daje różne liczby pierwsze dla $n=1,\dots ,40,$ jest związany z liczbą Heegnera $163=4\cdot 41-1.$

Formuła Eulera dla $n$ przyjmującego wartości $n=1,\dots ,40$ jest równoważna z

$n^2+n+41,$

dla $n$ przyjmującego wartości $n=0,\dots ,39.$ RabinowitzSzablon:Odn udowodnił, że

$n^2+n+p$

daje liczby pierwsze dla $n=0,\dots ,p-2,$ wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik $1-4p$ jest równy ujemnej liczbie Heegnera.

Zauważmy, że dla $p-1$ mamy $p^2,$ więc $p-2$ jest największe. 1, 2 i 3 nie są w wymaganej postaci, więc liczby Heegnera, które zadziałają to: $7,11,19,43,67,163,$ dając funkcje w postaci Eulera generujące liczby pierwsze dla $2,3,5,11,17,41;$ te ostatnie liczby zostały przez François Le Lionnaisa nazwane „szczęśliwymi” liczbami EuleraSzablon:Odn.

Liczby niemal całkowite i stała Ramanujana

Stała Ramanujana jest liczbą przestępną $e^{\pi \sqrt{163}},$ która jest niemal całkowita, to znaczy jest bardzo „bliska” liczbie całkowitej:

$e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743,99999999999925\dots \approx 640320^3+744.$

Liczba ta została odkryta w 1859 przez Charles Hermite’aSzablon:Odn.

W 1975 w słynnym primaaprilisowym artykule w magazynie „Scientific American” publicysta „Mathematical Games” Martin Gardner podał dla żartu stwierdzenieSzablon:Odn, że liczba ta w rzeczywistości jest całkowita, a przewidzieć to miał jakoby hinduski genialny matematyk Srinivasa Ramanujan i stąd wzięła się jej nazwaSzablon:Odn.

Ten zbieg okoliczności wyjaśniono dzięki arytmetyce krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym (ang. complex multiplication) i formie modularnej $j$-niezmiennika.

Szczegóły

Zwięźle ujmując $j((1+\sqrt{-d})/2)$ jest całkowite dla $d$ będącego liczbą Heegnera i poprzez formę modularną $e^{\pi \sqrt{d}}\approx -j((1+\sqrt{-d})/2)+744.$

Jeśli $\tau$ jest kwadratowo niewymierne, wtedy $j$-niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia $|\text{Cl}(𝐐(\tau ))|,$ liczba klas $𝐐(\tau )$ i minimalny (unormowany) wielomian, który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta. Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe $𝐐(\tau )$ ma liczbę klas równą 1 (więc $d$ jest liczbą Heegnera) $j$-niezmiennik jest liczbą całkowitą.

Forma modularna $j$ w rozwinięciu w szereg Fouriera zapisany jako szereg Laurenta dla wyrażenia $q=\exp (2\pi i\tau )$ zaczyna się następująco:

$j(q)=\frac{1}{q}+744+196884q+\dots$

Współczynniki $c_n$ asymptotycznie rosną jak $\ln (c_n)\sim 4\pi \sqrt{n}+O(\ln (n)),$ a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż $200000^n,$ więc dla $q\ll 1/200000,$ $j$ jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając $\tau =(1+\sqrt{-163})/2$ otrzymujemy $q=-\exp (-\pi \sqrt{163})$ lub równoważne $\frac{1}{q}=-\exp (\pi \sqrt{163}).$ Teraz $j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640320{)}^3,$ więc

$(-640320{)}^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)$

lub

$e^{\pi \sqrt{163}}=640320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right),$

gdzie wyrażenie liniowe błędu jest

$-196884/e^{\pi \sqrt{163}}\approx 196884/(640320^3+744)\approx -0,00000000000075,$

co wyjaśnia dlaczego $e^{\pi \sqrt{163}}$ jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.

Formuły Pi

Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987

$\frac{1}{\pi }=\frac{12}{640320^{3/2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!{)}^3(-640320{)}^{3k}}$

korzysta z faktu, że $j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3.$

Inne liczby Heegnera

Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacje są następujące:

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 96^3+744-0,22\\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx 960^3+744-0,00022\\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx 5280^3+744-0,0000013\\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 640320^3+744-0,00000000000075\end{array}$

Alternatywnie

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 12^3(3^2-1{)}^3+744-0,22\\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx 12^3(9^2-1{)}^3+744-0,00022\\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx 12^3(21^2-1{)}^3+744-0,0000013\\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 12^3(231^2-1{)}^3+744-0,00000000000075\end{array}$

gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina. Dla liczb Heegnera $d<19$ nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych; nawet $d=19$ nie jest osobliwe. Całkowite $j$-niezmienniki są wysoce rozkładalne, co wynika z postaci $12^3(n^2-1{)}^3=(2^2\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1){)}^3.$ Czynnikami są:

$\begin{array}{cc}j((1+\sqrt{-19})/2)& =96^3=(2^5\cdot 3{)}^3\\ j((1+\sqrt{-43})/2)& =960^3=(2^6\cdot 3\cdot 5{)}^3\\ j((1+\sqrt{-67})/2)& =5280^3=(2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11{)}^3\\ j((1+\sqrt{-163})/2)& =640320^3=(2^6\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29{)}^3\end{array}$

Te liczby przestępne, dodatkowo blisko aproksymowane przez liczby całkowite (które są liczbami algebraicznymi stopnia 1), mogą być również blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne stopnia 3:

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx x^{24}-24;x^3-2x-2=0\\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx x^{24}-24;x^3-2x^2-2=0\\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx x^{24}-24;x^3-2x^2-2x-2=0\\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx x^{24}-24;x^3-6x^2+4x-2=0\end{array}$

Pierwiastki trzeciego stopnia można dokładnie wyznaczyć poprzez ilorazy funkcji eta Dedekinda $\eta (\tau ),$ pewnej funkcji modularnej z udziałem pierwiastka stopnia 24, co wyjaśnia występowanie 24 w aproksymacji. Dodatkowo mogą być blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne 4 stopnia.

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 3^5{(3-\sqrt{2(-3+1\sqrt{3\cdot 19})})}^{-2}-12,00006\dots \\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx 3^5{(9-\sqrt{2(-39+7\sqrt{3\cdot 43})})}^{-2}-12,000000061\dots \\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx 3^5{(21-\sqrt{2(-219+31\sqrt{3\cdot 67})})}^{-2}-12,00000000036\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 3^5{(231-\sqrt{2(-26679+2413\sqrt{3\cdot 163})})}^{-2}-12,00000000000000021\dots \end{array}$

Zauważmy ponowne pojawienie się liczb całkowitych $n=3,9,21,231$ oraz fakt, że

$\begin{array}{cc}& 2^6\cdot 3(-3^2+3\cdot 19\cdot 1^2)=96^2\\ & 2^6\cdot 3(-39^2+3\cdot 43\cdot 7^2)=960^2\\ & 2^6\cdot 3(-219^2+3\cdot 67\cdot 31^2)=5280^2\\ & 2^6\cdot 3(-26679^2+3\cdot 163\cdot 2413^2)=640320^2\end{array}$

z odpowiednimi potęgami ułamkowymi są właśnie $j$-niezmiennikami. Również dla liczb algebraicznych stopnia 6

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx (5x{)}^3-6,000010\dots \\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx (5x{)}^3-6,000000010\dots \\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx (5x{)}^3-6,000000000061\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx (5x{)}^3-6,000000000000000034\dots \end{array}$

gdzie $x$ są dane przez odpowiednie pierwiastki równania szóstego stopnia

$\begin{array}{cc}& 5x^6-96x^5-10x^3+1=0\\ & 5x^6-960x^5-10x^3+1=0\\ & 5x^6-5280x^5-10x^3+1=0\\ & 5x^6-640320x^5-10x^3+1=0\end{array}$

z ponownie pojawiającymi się $j$-niezmiennikami. Równania szóstego stopnia są nie tylko algebraiczne, ale są też rozwiązalne w pierwiastkach, ponieważ rozkładają się na dwa równania sześcienne nad rozszerzeniem $\mathbb{Q}\sqrt{5}$ (z pierwszym równaniem rozkładającym się dalej na dwa równania kwadratowe). Te aproksymacje algebraiczne mogą być dokładnie wyrażone w wyrażeniach z ilorazami $\eta$ Dedekinda. Dla przykładu niech $\tau =(1+\sqrt{-163})/2,$ wtedy

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^{24}-24,00000000000000105\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}\right)}^{12}-12,00000000000000021\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}\right)}^6-6,000000000000000034\dots \end{array}$

gdzie ilorazy $\eta$ są podanymi powyżej liczbami algebraicznymi.

Kolejne liczby pierwsze

Dla danej liczby pierwszej $p$ jeśli obliczymy $k^2(\mathrm{mod}p)$ dla $k=0,1,\dots ,(p-1)/2$ (to jest wystarczające, bo $(p-k{)}^2\equiv k^2(\mathrm{mod}p)$), to otrzymamy kolejne liczby złożone, następujące po kolejnych liczbach pierwszych, wtedy i tylko wtedy, gdy $p$ jest liczbą Heegnera.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę