Funkcja modularna Dedekinda

Funkcja modularna eta Dedekinda – funkcja zmiennej zespolonej zdefiniowana na górnej półpłaszczyźnie. Nazwa pochodzi od Richarda Dedekinda.

Zdefiniujmy $q=e^{i2\pi \tau }.$ Wtedy funkcję Dedekinda definiujemy następująco:

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n).$

Funkcja eta jest holomorficzna na górnej półpłaszczyźnie, nie może być jednak analitycznie przedłużona poza nią.

Funkcja eta spełnia następujące tożsamości:

$\eta (\tau +1)=\exp (2\pi i/24)\eta (\tau ),$

$\eta (-1/\tau )=\sqrt{-i\tau }\eta (\tau ).$

Ogólniej,

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d){(-i(c\tau +d))}^{1/2}\eta (\tau ),$

gdzie $a,b,c,d$ są liczbami całkowitymi, takimi że: $ad-bc=1,$ oraz:

$ϵ(a,b,c,d)=\exp i\pi (\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)),$

natomiast $s(h,k)$ jest sumą Dedekinda

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2}).$

Bibliografia

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, Szablon:ISBN, See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, Szablon:ISBN.