Przedłużenie analityczne

Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja

Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach $D_1$ i $D_2:$

$f_1:D_1\to V_1,$

$f_2:D_2\to V_2.$

Jeśli istnieje niepusty zbiór $U=D_1\cap D_2$ taki, że

1. $U$ jest obszarem,
2. dla każdego $z\in U$ zachodzi równość $f_1(z)=f_2(z),$

to można powiedzieć, że $f_2$ jest rozszerzeniem analitycznym $f_1$ i odwrotnie.

Zastosowanie

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze, a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna i funkcja Γ.

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład

Szereg geometryczny

Rozważmy funkcję

$f_1(z)=1+z+z^2+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n.$

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie $z.$ Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f_1)=D_1=\{z\in ℂ:|z|<1\}.$

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie $z$ możemy zapisać jako

$f_2(z)=\frac{1}{1-z},$

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych $z$ oprócz liczby 1:

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f_2)=D_2=ℂ\setminus \{1\}.$

Na obszarze $D_1\cap D_2=D_1$ obie funkcje są sobie równe, więc funkcję $f_2$ możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji $f_1$ na obszar $ℂ\setminus \{1\}$Szablon:Odn.

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji $f_2$ teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:

$1-1+1-1+\dots =f_1(-1)=f_2(-1)=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2},$

$1+2+4+8+\dots =f_1(2)=f_2(2)=\frac{1}{1-2}=-1.$

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też

• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …
• szereg Grandiego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:PlanetMath Szablon:Lang
• Szablon:MathWorld Szablon:Lang
• Szablon:Otwarty dostęp Analytic continuation into a domain of a function given on part of the boundary Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].