Domknięcie (topologia)

Szablon:Inne znaczenia Domknięcie – operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru $A\subseteq X$ nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany $\bar{A}$ lub $\mathrm{cl}A$ (od ang. closure), zawierający $A.$ Innymi słowy:

$\mathrm{cl}A=\bigcap \{F\subseteq X:A\subseteq F\wedge X\setminus F\in \tau \}.$

Uwagi

• Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
• W dowolnym zbiorze $X$ można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną oraz $A\subseteq X,$ to następujące warunki są równoważne:
  1. $x\in \mathrm{cl}A,$
  2. dla każdej bazy otoczeń $ℬ(x)$ punktu $x$ i każdego $U\in ℬ(x)$ mamy $U\cap A\ne \varnothing ,$
  3. dla pewnej bazy otoczeń $ℬ(x)$ punktu $x$ i każdego $U\in ℬ(x)$ mamy $U\cap A\ne \varnothing .$
• Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X,$ to

$\mathrm{cl}A=\{x\in X:d(x,A)=0\},$ gdzie przez $d(x,A)$ rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. $d(x,A)=\inf \{d(x,a):a\in A\}.$ Oznacza to, że zbiór $\mathrm{cl}A$ składa się z tych $a\in X$ dla których istnieje ciąg $(x_n)$ elementów zbioru $A$ zbieżny do $a.$

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz $A$ jest podzbiorem zbioru $X,$ to punkt z przestrzeni $X$ jest punktem domknięcia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru $A.$ W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
• Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $X$ punkt należy do domknięcia zbioru $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru $A.$

Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A,B\subseteq X.$ Wówczas:

• $\mathrm{cl}\varnothing =\varnothing ,$
• $A\subseteq \mathrm{cl}A,$
• $\mathrm{cl}(A\cup B)=\mathrm{cl}A\cup \mathrm{cl}B,$
• $\mathrm{cl}(\mathrm{cl}A)=\mathrm{cl}A$ (idempotentność).

Dalsze własności

• $\mathrm{cl}X=X,$
• $A$ jest domknięty $⟺A=\mathrm{cl}A,$
• $A\subset B⟹\mathrm{cl}A\subset \mathrm{cl}B$ (monotoniczność),
• $\mathrm{cl}(A\cap B)\subseteq \mathrm{cl}A\cap \mathrm{cl}B;$ ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
  • Ogólniej, jeśli $(A_i{)}_{i\in I}$ jest dowolną rodziną podzbiorów $X,$ to
    $\mathrm{cl}\bigcap _{i\in I}{A}_i\subseteq \bigcap _{i\in I}\mathrm{cl}{A}_i.$
• Jeśli $(A_i{)}_{i\in I}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X,$ to
  $\bigcup _{i\in I}\mathrm{cl}{A}_i\subset \mathrm{cl}\bigcup _{i\in I}{A}_i.$
• Jeśli $(A_i{)}_{i\in I}$ jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru $X,$ to
  $\bigcup _{i\in I}\mathrm{cl}{A}_i=\mathrm{cl}\bigcup _{i\in I}{A}_i.$
• Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
• Jeśli $Y$ jest podprzestrzenią topologiczną $X,$ zawierającą $A,$ to domknięcie $A$ w przestrzeni $Y$ jest równe części wspólnej $Y$ i domknięcia $A$ w przestrzeni $X:$ ${\mathrm{cl}}_Y(A)=Y\cap {\mathrm{cl}}_X(A).$
• Dla każdego $A\subset X$ mamy: $\mathrm{cl}A=X\setminus \mathrm{Int}(X\setminus A).$

Operacja domknięcia a topologia

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze $X$.

Przykłady

• W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są $\varnothing$ i $X$), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
• W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
• W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • przedziału otwartego $(0,1)$ jest przedział domknięty $[0,1].$
  • zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych jest $ℝ.$
• W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też

• brzeg zbioru
• domknięcie normalne
• matroid
• pochodna zbioru
• wnętrze zbioru

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę