Pierścień liczb całkowitych

Plik:Definirea inelului întregilor (teorema Malţev).png

Pierścień liczb całkowitych

Pierścień liczb całkowitych – zbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną $\mathbb{Z}$ z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Algebraiczna teoria liczb

Ogólniej, pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego $K,$ oznaczanego często symbolami ${\mathrm{O}}_K$ lub ${𝒪}_K,$ nazywa się pierścień liczb algebraicznych całkowitych zawartych w $K.$

Korzystając z tej notacji można napisać, iż $\mathbb{Z}=O_{\mathbb{Q}},$ ponieważ $\mathbb{Z},$ jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitych ciała $\mathbb{Q}$ liczb wymiernych. Z tego względu w algebraicznej teorii liczb elementy $\mathbb{Z}$ nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Pierścień liczb całkowitych ${\mathrm{O}}_K$ jest $\mathbb{Z}$-modułem; nie do końca oczywistym jest fakt, iż jest to moduł wolny, a więc ma bazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg $b_1,\dots ,b_n\in {\mathrm{O}}_K$ (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element $x$ należący do ${\mathrm{O}}_K$ może być jednoznacznie przedstawiony jako

$x=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i,$

gdzie $a_i\in \mathbb{Z}.$ Ranga $n$ pierścienia ${\mathrm{O}}_K$ jako wolnego $\mathbb{Z}$-modułu jest równa stopniowi $K$ nad $\mathbb{Q}.$ Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych są pierścieniami Dedekinda.

Przykłady

Jeśli $\zeta$ jest $p$-tym pierwiastkiem z jedynki zaś $K=\mathbb{Q}(\zeta )$ odpowiadającym mu ciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa ${\mathrm{O}}_K=\mathbb{Z}[\zeta ]$ dana jest jako $(1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2}).$

Jeżeli $d$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, zaś $K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ jest odpowiadającym ciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa ${\mathrm{O}}_K$ dana jest jako $(1,\frac{1+\sqrt{d}}{2}),$ o ile $d\equiv 1mod4$ oraz $(1,\sqrt{d}),$ jeśli $d\equiv 2,3mod4$ (zob. arytmetyka modularna).

Pierścień p-adycznych liczb całkowitych ${\mathbb{Z}}_p$ to pierścień liczb całkowitych liczb p-adycznych ${\mathbb{Q}}_p.$

Zobacz też

• liczby całkowite kwadratowe.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę