Funkcja półciągła

Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Wykres funkcji półciągłej z dołu w $x_0$

Wykres funkcji półciągłej z góry w $x_0$

Definicja formalna

Niech $(X,\varrho )$ będzie przestrzenią metryczną, $x_0\in X$ oraz niech dana będzie funkcja

$f:X\to \overline{ℝ}.$

Funkcja $f$ jest:

• półciągła z dołu w punkcie $x_0,$ gdy

$\underset{\varrho (x,x_0)\to 0}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)⩾f(x_0),$

• półciągła z góry w punkcie $x_0,$ gdy

$\underset{\varrho (x,x_0)\to 0}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)⩽f(x_0).$

Funkcja $f$ jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze $D\subseteq X,$ gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru $D.$

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

$\underset{\varrho (x,x_0)\to 0}{\lim }f(x)=f(x_0),$

a zatem ciągłości funkcji $f$ w punkcie $x_0.$ Z własności granic wynika, że $f$ jest półciągła z góry w $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $-f$ jest półciągła z dołu w $x_0.$

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważne

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji $f$ w punkcie $x_0.$ Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

• jeśli $x_n\to x_0$ oraz $f(x_n)\to \lambda ,$ to $\lambda ⩾f(x_0),$
• jeśli $x_n\to x_0,$ to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}f(x_n)⩾f(x_0),$

• jeśli $x_0$ jest punktem skupienia przestrzeni $X,$ to

$\underset{x\to x_0}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)⩾f(x_0),$

• dla każdego $a<f(x_0)$ istnieje takie $\delta >0,$ że

$\varrho (x,x_0)<\delta \Rightarrow a<f(x).$

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $x_0\in X.$ Funkcja

$f:X\to \overline{ℝ}$

jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie $x_0,$ gdy dla każdego $\epsilon >0$ istnieje takie otoczenie otwarte $U$ punktu $x_0,$ że $f(x)⩾f(x_0)-\epsilon$ (odpowiednio: $f(x)⩽f(x_0)+\epsilon$) dla każedgo $x\in U.$

Własności

• Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
• Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
• Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
• Twierdzenie Baire’a: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej $X$ jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady

• Funkcja $f:ℝ\to ℝ$ dana wzorem

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩾0\\ -1,& x<0\end{array}$

jest półciągła z góry w $x_0=0.$

• Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu.
• Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
• Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę