Równanie funkcyjne

Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Przykłady

• Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
• Równanie Abela $\alpha (f(x))=\alpha (x)+1.$
• Równanie $f(x+y)=f(x)+f(y)$ spełniają funkcje addytywne.
• Równania $f(x)=f(-x)$ oraz $f(x)=-f(-x)$ spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
• Znajdźmy wszystkie funkcje $f:ℝ\to ℝ,$ dla których $f(x+y{)}^2=f(x{)}^2+f(y{)}^2.$

  Podstawiając $x=y=0,$ otrzymujemy $f(0{)}^2=2f(0{)}^2,$ czyli $f(0)=0.$

  Niech $y=-x,$ wówczas

  $0=f(0{)}^2=f(x-x{)}^2=f(x{)}^2+f(-x{)}^2.$

  Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość $f(x)=0$ jest spełniona dla każdego $x.$ Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest $f(x)=0.$

• Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki $a_1=1,a_{n+1}=(n+1)a_n$ jest ciąg $a_n=n!.$
• Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Równanie Cauchy’ego

Szablon:Osobny artykuł Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego $f(x+y)=f(x)+f(y).$ Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{+}𝐲\mathbf{)}\mathbf{=}𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}\mathbf{+}𝐟\mathbf{(}𝐲\mathbf{)}.$ Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)=f(x)+f(y)$ są funkcje liniowe $f(x)=ax.$

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że $f(x_1+\dots +x_n)=f(x_1)+\dots +f(x_n).$ Zauważmy dalej, że $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),$ czyli $f(0)=0.$

Niech teraz $a=f(1).$ Pokażemy, że równość $f(x)=ax$ zachodzi, gdy $x$ jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

$f(n)=f(\underset{n}{\underbrace{1+\dots +1}})=\underset{n}{\underbrace{f(1)+\dots +f(1)}}=an$

dla każdego $n\in \mathbb{N}.$

Dalej $f(n)+f(-n)=f(n+(-n))=f(0)=0,$ czyli $f(-n)=-f(n)=a(-n).$ To oznacza, że $f(x)=ax$ dla każdego $x\in \mathbb{Z},$ gdzie $\mathbb{Z}$ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

$a=f(1)=f\left(\underset{n}{\underbrace{\frac{1}{n}+\dots +\frac{1}{n}}}\right)=\underset{n}{\underbrace{f\left(\frac{1}{n}\right)+\dots +f\left(\frac{1}{n}\right)}},$

co daje $f\left(\frac{1}{n}\right)=a\frac{1}{n}.$ Niech teraz $\frac{m}{n}$ będzie dowolną liczbą wymierną.

Wówczas

$f\left(\frac{m}{n}\right)=f\left(\underset{m}{\underbrace{\frac{1}{n}+\dots +\frac{1}{n}}}\right)=\underset{m}{\underbrace{f\left(\frac{1}{n}\right)+\dots +f\left(\frac{1}{n}\right)}}=a\cdot \frac{m}{n}.$

Zatem równość $f(x)=ax$ została pokazana dla każdej liczby wymiernej $x\in \mathbb{Q}.$

Z ciągłości funkcji $f$ wynika równość $f(x)=ax$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\in ℝ.$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{+}𝐲\mathbf{)}\mathbf{=}𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}𝐟\mathbf{(}𝐲\mathbf{)}.$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)=f(x)f(y)$ są funkcje wykładnicze $f(x)=a^x.$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $𝐟\mathbf{(}𝐱𝐲\mathbf{)}\mathbf{=}𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}\mathbf{+}𝐟\mathbf{(}𝐲\mathbf{)}.$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(xy)=f(x)+f(y)$ są funkcje logarytmiczne $f(x)={\log }_{a}x.$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $𝐟\mathbf{(}𝐱𝐲\mathbf{)}\mathbf{=}𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}𝐟\mathbf{(}𝐲\mathbf{)}.$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(xy)=f(x)f(y)$ są funkcje potęgowe $f(x)=x^a.$

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{+}𝐲\mathbf{)}\mathbf{+}𝐟\mathbf{(}𝐲\mathbf{-}𝐱\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}𝐟\mathbf{(}𝐲\mathbf{)}.$ Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)+f(y-x)=2f(x)f(y)$ są funkcje cosinus $f(x)=\cos x$ i cosinus hiperboliczny $f(x)=\cosh x.$

Bibliografia

• J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge 1989.
• J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1960.
• J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok 1979.
• G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa 1999.
• D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
• M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice 1985.