Epimorfizm

Diagram przemienny epimorfizmu

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm $f:X\to Y$ mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów $g_1,g_2:Y\to Z$ spełniony jest warunekSzablon:Odn:

$g_1\circ f=g_2\circ f\Rightarrow g_1=g_2.$

Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny). Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

Epimorfizm konormalny

Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnymSzablon:Odn.

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu

$\alpha :A\to B.$

Jest ono równe grupie ilorazowej $B/G,$ gdzie $G$ jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą $\alpha (A).$

Przykłady

• Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania „na”.

Niech $f:X\to Y$ będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki $y_0\in Y\setminus f(X).$ Niech $y_1\in f(X).$ Niech $Z=\{y_0,y_1\}$ oraz

$g_0(y)=y_0$ dla $y\in Y,$

$g_1(y)=\{\begin{array}{cc}{y}_0,& y\in f(X)\\ y_1,& y\notin f(X)\end{array}.$

Wtedy $g_{0}f=g_{1}f$ i $g_0\ne g_1,$ co jest sprzeczne z tym, że $f$ jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje $y_0\in Y\setminus f(X)$ i funkcja $f$ jest „na”.

• Morfizmy identycznościowe są epimorfizmami.

Zobacz też

• izomorfizm
• monomorfizm

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę