Równanie diofantyczne

Równanie diofantyczne – równanie postaci:

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,$

gdzie $f$ jest $n$-argumentową funkcją $(n⩾2)$ i którego rozwiązania szuka się w dziedzinie liczb całkowitych lub rzadziej wymiernych. Jeżeli $f$ jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznymSzablon:Odn.

Przykłady równań diofantycznych

• Równanie $x^n+y^n=z^n:$ dla $n=2$ równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla $n>2$ równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
• Równanie $ax+by=c$ ($a,b,c$ są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ dzieli $c.$
• Równanie $2^x+1=y^2$ ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
• Równanie $x^y=y^x$ ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy $x\ne y:$ $x=2,y=4$ oraz $x=4,y=2.$
• Równanie $x^2-n{y}^2=1$ $(n>0)$ zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli $n$ jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od $n.$
• Równanie $\frac{3^a\cdot k-1}{2^a\cdot k-1}=2^x$ jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla $a=1,$ $k=1$ oraz $x=1,$ które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy

Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytaniaSzablon:Odn:

• Czy ma ono rozwiązania?
• Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
• Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przez długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Ogólna charakterystyka

Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo $n$”: liczby $a$ i $b$ przystają modulo $n,$ jeżeli ich różnica $a-b$ dzieli się bez reszty przez $n,$ co zapisuje się: $a\equiv b(\mathrm{mod}n).$

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: $x^2+y^2=z^2.$ Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania niebędące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych $(x,y,z)$ można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: $x=k^2-l^2,$ $y=2kl,$ $z=k^2+l^2;$ gdzie $k,$ $l$ to liczby naturalne, przy czym $k>l.$ Jeśli $k$ i $l$ są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako $\mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(z),|z|,$ gdzie $z$ jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module $|z|.$

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Metody rozwiązywania

Podstawowe metody

Metoda dekompozycji

Polega na przekształceniu równania z postaciSzablon:Odn:

$D(x_1,\dots ,x_n)=0$

do postaci:

$D_1(x_1,\dots ,x_n)\cdot D_2(x_1,\dots ,x_n)\dots D_k(x_1,\dots ,x_n)=a,$

gdzie $D_1,D_2,\dots ,D_k\in \mathbb{Z}[X_1,X_2,\dots ,X_n]$ i $a\in \mathbb{Z}.$

Następnie liczbę $a$ rozkładamy na $k$ czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:

$\begin{array}{c}{D}_1(x_1,\dots ,x_n)=a_1\\ D_2(x_1,\dots ,x_n)=a_2\\ \dots \\ D_k(x_1,\dots ,x_n)=a_k.\\ \end{array}$

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania $D.$

Przykład

Rozważmy równanie:

$nm-2n+m-6=0.$

I przekształćmy je w następujący sposób:

$n(m-2)+m-2=4,$

$(m-2)(n+1)=(\pm 2{)}^2.$

Odpowiada to dwóm możliwościom:

$\{\begin{array}{c}m-2=2\\ n+1=2,\end{array}$

$\{\begin{array}{c}m-2=-2\\ n+1=-2,\end{array}$

co daje rozwiązanie:$\{m=4,n=1\}$ lub $\{m=0,n=-3\}.$

Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioruSzablon:Odn.

Przykład

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych $(n,m)$ spełniających równanie:

$n^3+m^3=(n+m{)}^2.$

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci $(k,-k),k\in \mathbb{Z}.$ Teraz rozważmy takie rozwiązania, że $(n+m)\ne 0,$ wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez $(n+m):$

$n^2-nm+m^2=n+m$

i przekształcić do postaci:

$(n-m{)}^2+(n-1{)}^2+(m-1{)}^2=2.$

Z tego wynikają nierówności $(n-1{)}^2⩽1$ i $(m-1{)}^2⩽1$ ograniczające położenie niewiadomych $n,m$ do przedziału $[0,2].$ Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary: $(0,1),$ $(1,0),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2).$

Metoda parametryczna

W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$ można opisać jako:

$\begin{array}{c}{x}_1=g_1(k_1,\dots ,k_l)\\ x_2=g_2(k_1,\dots ,k_l)\\ \dots \\ x_n=g_n(k_1,\dots ,k_l),\\ \end{array}$

gdzie $g_1,g_2,\dots ,g_n$ są $l$-argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i $k_1,k_2,\dots ,k_l\in \mathbb{Z}.$ Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wieleSzablon:Odn.

Przykład

Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:

$a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2.$

Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że $c=-b,$ w ten sposób otrzymujemy równanie:

$a^3=a^2+2b^2.$

Biorąc $b=ka$ i $a=1+2k^2$ $(k\in \mathbb{Z}),$ powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:

$a=2k^2+1,$

$b=k(2k^2+1),$

$c=-k(2k^2+1).$

Zobacz też

• równanie diofantyczne (automatyka)
• zbiór diofantyczny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Jonathan Pila, D is for Diophantine Equations Szablon:Lang, Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 7 czerwca 2022 [dostęp 2023-05-29].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].
• Szablon:Otwarty dostęp Diophantine equations, solvability problem of Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].