Równanie diofantyczne (automatyka)

Szablon:Dopracować W teorii sterowania równanie diofantyczne wykorzystuje się w metodzie równań wielomianowych.

Równanie diofantyczne:

$D(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

staje się układem równań liniowych z niewiadomymi współczynnikami dwóch wyrażeń $A(s)$ i $B(s).$ W niektórych sytuacjach równanie diofantyczne posiada rozwiązanie jednoznaczne, ale są też przypadki gdy wynik nie jest jednoznaczny.

Mnożąc wielomiany i łącząc potęgi $s:$

$D(s)=(A_0{a}_0+B_0{b}_0)$$+(A_0{a}_1+A_1{a}_0+B_0{b}_1+B_1{b}_0)s$$+\dots +(A_m{a}_n{B}_m{b}_n)s^{m+n}.$

Teraz można przyrównać współczynniki $D(s)$ i wynikowy układ równań przedstawia się następująco:

$\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_0& b_0& 0& 0& \dots & 0& 0\\ a_1& b_1& a_0& b_0& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_n& b_n& a_{n-1}& b_{n-1}& \dots & a_0& b_0\\ 0& 0& a_n& b_n& \dots & a_1& b_1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \dots & a_n& b_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_0\\ B_0\\ A_1\\ B_1\\ ⋮\\ A_m\\ B_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{D}_0\\ D_1\\ ⋮\\ D_{n+m}\end{array}\right]$

Powyższa macierz może być bardzo duża, ale wzorzec jest prosty: nowe współczynniki są przesuwane dalej ze strony lewej a stare współczynniki są przesuwane dalej na prawo w każdym z wierszy.

Warunki jednoznaczności

Macierz diofantyczna ma wymiary $(n+m+1)\times (2m+2).$ Rozwiązanie równania diofantycznego jest jednoznaczne jeśli macierz diofantyczna jest kwadratowa i przez to nie jest odwrotna. Jeśli macierz ma więcej kolumn niż wierszy, rozwiązanie staje się niejednoznaczne. Jeśli macierz ma więcej wierszy niż kolumn to bieguny układu poddawanego syntezie w metodzie równań wielomianowych nie mogą być dowolnie przesuwane.

Warunek jednoznaczności może zostać spełniony jeśli $m=n-1.$ Rząd regulatora powinien być mniejszy o jeden niż rząd obiektu. Jeśli rząd regulatora jest wyższy, rozwiązanie nie będzie jednoznaczne. Jeśli rząd regulatora jest niższy, nie wszystkie bieguny mogą być dowolnie lokowane.

Zobacz też

• równanie diofantyczne