Prawo Gaussa (elektryczność)

Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej $\epsilon ,$ jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni

W ujęciu całkowym

Strumień ${\mathrm{\Phi }}_E$ natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E},$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię $S,$ ograniczającą obszar o objętości $V,$ jest wprost proporcjonalny do ładunku elektrycznego $Q$ zawartego w tym obszarze (objętości):

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\oint }\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho \mathrm{d}V=\frac{Q}{{\epsilon }_o},$

przy czym:

• wektor $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$ jest wektorem powierzchni,
• współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni ${\epsilon }_0.$

W ujęciu różniczkowym

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},$

przy czym:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}$ – dywergencja natężenia pola elektrycznego,

$\rho$ – gęstość ładunku,

${\epsilon }_{\mathrm{0}}$ – przenikalność elektryczna w próżni równa $8,854187817\dots \cdot 10^{-12}\frac{F}{m}.$

Prawo Gaussa w materii

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

${\mathrm{\Phi }}_E=\frac{Q_{\mathrm{s}\mathrm{w}}+Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}}{{\epsilon }_0}=\frac{Q_{\mathrm{s}\mathrm{w}}}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0}=\frac{Q_{\mathrm{s}\mathrm{w}}}{\epsilon },$

przy czym:

$Q_{\mathrm{s}\mathrm{w}}$ – ładunki swobodne objęte powierzchnią $S,$

$Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}$ – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią $S,$

${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ – względna przenikalność elektryczna ośrodka,

$\epsilon$ – przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{{\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}}{\epsilon },$

w którym:

${\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{w}}$ – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

$\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}.$

Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej $\overrightarrow{D}$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię $S$ jest równy ładunkowi elektrycznemu $Q$ zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią $S:$

$\underset{S}{\oint }\overrightarrow{D}\cdot \text{<mi fromhbox="1">d</mi>}\overrightarrow{S}=\underset{V}{\int }\rho \text{<mi fromhbox="1">d</mi>}V=Q_{\mathrm{s}\mathrm{w}}$

lub w postaci różniczkowej

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{w}},$

w którym:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}$ – dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa

Wzór: $\underset{S}{\oint }\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{Q}{\epsilon }$ jest wyrazem faktu, że pole wektorowe $\overrightarrow{E}$ jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego $Q$ pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości $r$ można zapisać jako:

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\oint }\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=S_{r}E(r),$

w którym $S_r$ jest powierzchnią kuli o promieniu $r.$

Z powyższego wynika:

$E(r)=\frac{Q}{\epsilon S_r}.$

Pole powierzchni kuli jest równe $4\pi r^2.$ Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego $q$ z ładunkiem punktowym:

$E(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2},$

$F(r)=\frac{Qq}{4\pi \epsilon r^2}.$

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania „wymiarowości” naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

${\mathrm{\Phi }}_B=\underset{S}{\oint }\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\underset{V}{\oint }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}\mathrm{d}V=0.$

Odpowiednik dla grawitacji

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

$\underset{S}{\oint }\overrightarrow{g}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-4\pi GM,$

przy czym:

$\overrightarrow{g}$ – natężenie pola grawitacyjnego,

$G$ – stała grawitacji.

Strumień natężenia pola $\overrightarrow{g}$ przez powierzchnię zamkniętą $S$ równy jest całkowitej masie $M$ zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez $-4\pi G.$

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

$\underset{S}{\oint }\overrightarrow{g}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{1}{c^2}\underset{V}{\oint }\overrightarrow{g}{}^2\mathrm{d}V.$

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa