Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).

Definicja

Elementy $x$ i $y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ nazywa się ortogonalnymi, gdy

$⟨x,y⟩=0.$

Relację $⟨x,y⟩=0$ zapisuje się symbolicznie $x\perp y.$ Podzbiór $A$ przestrzeni unitarnej $X$ nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

Długość wektora $a=[a_x,a_y,a_z]$ w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

$|a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$

Jeżeli $a=[a_x,a_y,a_z]$ i $b=[b_x,b_y,b_z]$ są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora $c=b-a$ wynosi

$|c|=|b-a|=\sqrt{(b_x-a_x{)}^2+(b_y-a_y{)}^2+(b_z-a_z{)}^2}.$

Liczby $|a|,|b|,|c|$ są długościami boków trójkąta $oab,$ gdzie $o=(0,0,0).$

Trójkąt prostokątny o bokach $𝐚,𝐛,𝐜.$

Wektory $a,b$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $oab$ jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

$|c{|}^2=|a{|}^2+|b{|}^2,$

tzn.

$(b_x-a_x{)}^2+(b_y-a_y{)}^2+(b_z-a_z{)}^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2+b_x^2+b_y^2+b_z^2.$

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

$-2a_x{b}_x-2a_y{b}_y-2a_z{b}_z=0,$

która upraszcza się do wyrażenia

$a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=0.$

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów $a$ i $b$ w przestrzeni trójwymiarowej.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

Szablon:Zobacz też Wektory $[-1,3]$ i $[3,1]$ na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

$[-1,3]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=-1\cdot 3+3\cdot 1=0.$

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń $L^2[a,b]$, tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale $[a,b]$ o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów $f$ i $g$ tej przestrzeni definiuje się wzorem

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\overline{g(t)}\mathrm{d}t.$

W przypadku, gdy $[a,b]=[-\pi ,\pi ],$ to rodzina funkcji

$\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi }},\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi }}:n\in \mathbb{N}\}$

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też

• macierz ortogonalna