Dzielnik zera

Dzielnik zera – element $a$ pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element $b$ spełniający $ab=0$.

W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym $1\ne 0,$ dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Własności

• Zbiór dzielników zera pierścienia $A,$ w którym istnieją właściwe dzielniki zera, jest sumą mnogościową ideałów pierwszych.

Dowód Niech $a\in A$ będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny $(a)$ generowany przez $a$ jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny $ℳ,$ którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny $(a).$ Ponieważ $ℳ$ jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).

• Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym.

Dowód: Gdyby dla elementu $a$ istniały elementy $b\ne 0$ i $c$ takie, że $ab=0,$ $ac=ca=1,$ to:

$b=1\cdot b=(ca)b=c(ab)=c\cdot 0=0$

wbrew założeniu.

Przykłady

• W pierścieniu ${\mathbb{Z}}_6$ właściwymi dzielnikami zera są $2$ i $3,$ bowiem $2\cdot 3=0;$
• W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest $(0,1),$ bowiem $(0,1)\cdot (0,1)=(0,0);$
• W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są $(2,2)$ i $(3,-3),$ bowiem $(2,2)\cdot (3,-3)=(0,0);$
• W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$ ponieważ $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Zobacz też

• dziedzina całkowitości
• element odwracalny
• pierścienie Z_n
• pierścień