Równanie kwadratowe

Wykres funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej przy zmianie różnych współczynników

Równanie kwadratowe, równanie drugiego stopniaSzablon:Fakt – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych, czyli postaci:

$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0.$

Wielkości $a,b,c$ są znane jako współczynniki, kolejno: kwadratowy, liniowy i stały bądź wyraz wolny. Założenie $a\ne 0$ oznacza, że do równań kwadratowych nie zalicza się równań liniowych.

Niewiadoma i współczynniki w równaniu kwadratowym mogą być liczbami rzeczywistymi, zespolonymi bądź elementami dowolnego innego pierścienia. Równania te należą do wielomianowych, a konkretniej są równaniami wielomianowymi drugiego stopnia.

Rozwiązania

Szablon:Zobacz też Rozwiązaniem równania kwadratowego

$a{x}^2+bx+c=0$

nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce $x$ daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

$a(x-x_1)(x-x_2)=0,$

dla pewnych liczb $x_1,x_2,$ to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb $x_1,x_2,$ gdyż podstawiona zamiast $x$ sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być $x_1=x_2,$ wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

$a(x-x_1{)}^2=0.$

Wyróżnik

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
■ <0: x² + ¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x² + ⁴⁄₃x − ¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x² + ¹⁄₂x − ⁴⁄₃

Ponieważ

$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx+c& =a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a})\\ & =a(x^2+\frac{xb}{a}+\frac{4ac}{4a^2})\\ & =a(x^2+\frac{2xb}{2a}+\frac{4ac-b^2}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2})\\ & =a(x^2+\frac{2xb}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2-4ac}{4a^2})\\ & =a((x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2})\\ & =a(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\\ & =a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\end{array}$

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

oraz

$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Wyrażenie

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli $\mathrm{\Delta }=0,$ to

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.$

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy $\mathrm{\Delta }<0,$ to

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=i\sqrt{4ac-b^2},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi $\frac{-b}{2a}.$ Jeżeli $\mathrm{\Delta }>0,$ to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem $\frac{-b}{2a}.$ Przypadki dla $\mathrm{\Delta }\ne 0$ można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi $\frac{-b}{2a}$ (por. wzory Viète’a).

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile $\mathrm{\Delta }⩾0.$ Dokładniej, jeśli:

• $\mathrm{\Delta }>0,$ to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
• $\mathrm{\Delta }=0,$ to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
• $\mathrm{\Delta }<0,$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami ${\mathbb{Z}}_p,$ gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą większą od 2Szablon:Fakt.

Przykłady

• Równanie

$-2x^2+3x-1=0$

ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy

$3^2-4(-2)(-1)=1>0.$

Są nimi $x_1=\frac{1}{2}$ oraz $x_2=1.$

• Równanie

$x^2+2x=-4$

po uporządkowaniu ma postać

$x^2+2x+4=0.$

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż

$\mathrm{\Delta }=2^2-4\cdot 1\cdot 4=-12<0,$

jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ $\mathrm{\Delta }=-12=12i^2,$ to rozwiązania mają postać

$x_{1,2}=-1\pm \sqrt{3}i.$

• Równanie

$4x^2+4x+1=0$

ma jedno rozwiązanie $x=-\frac{1}{2},$ gdyż wyróżnik

$4^2-4\cdot 4\cdot 1=0.$

Wzory skróconego mnożenia

Szablon:Zobacz też Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady

• Równanie

$x^2+2x+1=0$

można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako

$(x+1{)}^2=0,$

wtedy $x=-1$ jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.

• Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie

$4x^2-1=0$

jest tożsame równaniu

$(2x-1)(2x+1)=0,$

skąd musi być

$2x-1=0$ lub $2x+1=0,$

tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb

$x=\frac{1}{2}$ oraz $x=-\frac{1}{2}.$

Wzory Viète’a

Szablon:Zobacz też Znając jedno rozwiązanie, można wskazać drugie, korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu $a{x}^2+bx+c$ mają postać

$\{\begin{array}{c}{x}_1{x}_2=\frac{c}{a}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}.\end{array}$

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

$x^2+bx+c$

spełniają równości $b=u+v$ i $c=uv,$ to można go zapisać jako

$(x+u)(x+v).$

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

$x^2+bx+c=0,$

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

$x_1=-u$ oraz $x_2=-v.$

Przykłady

• Równanie

$x^2+5x+6=0$

daje się przedstawić w postaci

$(x+2)(x+3)=0,$

skąd otrzymuje się rozwiązania

$x_1=-2$ oraz $x_2=-3.$

• Równanie

$x^2-5x-6=0$

można zapisać jako

$(x+1)(x-6)=0,$

co oznacza, że rozwiązaniami są liczby

$x_1=-1$ oraz $x_2=6.$

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

$x^2+bx+d=0$

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

$x^2+bx+c=(x-t{)}^2,$

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

$x^2+bx+c-c+d=0,$

skąd

$(x-t{)}^2-(c-d)=0,$

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

$(x-t-\sqrt{c-d})(x-t+\sqrt{c-d})=0,$

co daje rozwiązania

$x=t+\sqrt{c-d}$ oraz $x=t-\sqrt{c-d}.$

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy $c-d>0.$

Przykłady

• Równanie

$x^2-4x+2=0$

jest tożsame następującemu

$x^2-2\cdot 2x+4-4+2=0,$

kontynuując uzyskuje się

$(x-2{)}^2-2=0,$

co jest równoważne

$(x-2{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=0$

oraz

$(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})=0,$

a więc rozwiązaniami są

$x_1=2+\sqrt{2}$ oraz $x_2=2-\sqrt{2}.$

Współczynniki całkowite

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

$a{x}^2+bx+c=0,$

gdzie $a,b,c$ są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna $p/q,$ gdzie $p$ i $q\ne 0$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to $p$ jest dzielnikiem $c,$ a $q$ jest dzielnikiem $a.$

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady

• Rozwiązaniami wymiernymi równania

$2x^2-7x+5=0$

mogą być tylko liczby należące do zbioru $\{-5,-1,1,5,-5/2,-1/2,1/2,5/2\}.$ Podstawiając $x=-5$ otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie $x=5$ daje $20\ne 0;$ liczba $x=-1$ podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość $14;$ liczba $x=1$ jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest $5/2$).

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

$a{x}^2+bx+c=0$

jest równa zeru, tzn. $a+b+c=0,$ to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba $1$ (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli $-a+b-c=0,$ to liczba $-1$ jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład

Równanie

$7x^2-x-8=0$

na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy $-1.$

Zobacz też

• okrąg Carlyle’a

Inne:

• równanie algebraiczne
• równanie sześcienne
• równanie czwartego stopnia

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-12-16].
• Szablon:Otwarty dostęp Quadratic equation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-16].