Okrąg Carlyle’a

Liczby $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania $x^2-sx+p=0$

Okrąg Carlyle’a – okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych, ilustrujący związek pomiędzy danym równaniem kwadratowym a jego pierwiastkami. Nazwa pochodzi od Thomasa Carlyle’a, szkockiego pisarza i historyka.

Okręgi Carlyle’a pozwalają konstrukcyjnie znajdować rozwiązania równań kwadratowych, wykorzystywane są m.in. przy konstruowaniu wielokątów foremnych.

Definicja

Dane niech będzie równanie kwadratowe

$x^2-sx+p=0,$

w którym $s$ i $p$ są ustalonymi liczbami.

Okręgiem Carlyle’a tego równania nazywamy okrąg, dla którego odcinek o końcach w punktach $A(0,1)$ i $B(s,p)$ jest średnicą.

Własności

Jeśli okrąg przecina oś OX, to współrzędne punktów przecięcia są pierwiastkami rzeczywistymi tego równania. W szczególności dotyczy to przypadku, gdy okrąg jest styczny do osi OX.

Jeśli okrąg jest rozłączny z osią OX, to równane nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Własności te wynikają stąd, że okrąg Carlyle’a ma w układzie kartezjańskim równanie:

${(x-\frac{s}{2})}^2+{(y-\frac{p+1}{2})}^2={\left(\frac{s}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2.$

Jego punkty przecięcia z osią OX są rozwiązaniami powyższego równania dla $y=0,$ tzn. równania

${(x-\frac{s}{2})}^2+{\left(\frac{p+1}{2}\right)}^2={\left(\frac{s}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2.$

Z kolei to równanie po uporządkowaniu jest równoważne równaniu:

$x^2-sx+p=0.$

Zobacz też

• konstrukcja pięciokąta foremnego
• konstrukcja siedemnastokąta foremnego

Bibliografia

• Szablon:MathWorld
• DeTemple, D. W. „Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions”

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta