Zbieżność prawie jednostajna

Zbieżność prawie jednostajna ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.

Definicja

Niech $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji prawie wszędzie skończonych. $f_n,f:A⟶\overline{ℝ},\mu :𝔐⟶[0,\mathrm{\infty }]$ – miara. $A\in 𝔐.$
Mówimy, że ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny do funkcji $f$ prawie jednostajnie względem miary $\mu$ (na zbiorze $A$) wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\underset{\epsilon >0}{\bigwedge }\underset{𝔐\ni B\subset A}{\bigvee }$$[\mu (A\setminus B)<\epsilon \wedge (f_n{|}_B{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f{|}_B].$

Twierdzenia o zbieżności prawie jednostajnej

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).
• Twierdzenie Riesza.
• Twierdzenie Jegorowa.

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• warunek Cauchy’ego według miary

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę