Warunek Cauchy’ego według miary

Warunek Cauchy’ego według miary – przeniesienie pojęcia warunku Cauchy’ego na ciągi funkcji mierzalnych.

Definicja

Niech $(X,𝔐,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą, dalej niech $A\in 𝔐$ i $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji mierzalnych (prawie wszędzie skończonych) $f,f_n:A\to \overline{ℝ},n\in \mathbb{N}.$

Mówimy, że ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ spełnia warunek Cauchy’ego według miary $\mu$ (na zbiorze $A$) wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{\epsilon >0}{\bigwedge }\underset{\eta >0}{\bigwedge }\underset{n_0\in \mathbb{N}}{\bigvee }\underset{p,q⩾n_0}{\bigwedge }$$\mu (\{x\in A:f_p(x),f_q(x)\in ℝ,|f_p(x)-f_q(x)|⩾\epsilon \})<\eta$

Własności

• Ciąg jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego według miary.
• Twierdzenie Riesza.

Zobacz też

• twierdzenie Jegorowa
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej