Wahadło podwójne

Wahadło podwójne utworzone jest z wahadła z doczepionym do jego końca drugim wahadłem. Ten prosty układ fizyczny wykazuje bogate zachowanie dynamiczne z silną wrażliwością na warunki początkowe, tzn. jest to układ chaotyczny. Ruch wahadła podwójnego opisuje się układem sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych.

Analiza i interpretacja

Wahadło podwójne złożone jest z dwóch wahadeł.

Można rozważyć kilka wariantów podwójnego wahadła: wahadła mogą mieć równe lub nierówne długości i masy, mogą być wahadłami matematycznymi (prostymi) lub wahadłami fizycznymi, ruch wahadeł może odbywać się w trzech wymiarach lub ograniczać się do płaszczyzny pionowej. W poniższej analizie przyjmuje się, że mamy identyczne wahadła zbudowane z ważkich prętów o długości l i masie m, a ruch jest ograniczony do dwóch wymiarów.

Wahadło fizyczne podwójne.

W takim wahadle złożonym masa jest rozłożona wzdłuż długości prętów; środek masy każdego pręta znajduje się w jego punkcie środkowym; moment bezwładności każdego pręta liczony względem jego środka wynosi $I=\frac{1}{12}m{l}^2$.

Do zapisu równań ruchu wygodnie jest posłużyć się kątami ${\theta }_1,{\theta }_2$, jakie tworzą wahadła z pionem (są to współrzędne uogólnione, które definiują przestrzeń konfiguracyjną układu. Położenie środka masy każdego pręta wyrazimy w tych współrzędnych. Jeżeli za początek układu kartezjańskiego przyjmiemy punkt mocowania pierwszego wahadła, to jego środek masy ma współrzędne:

$\begin{array}{cc}{x}_1& =\frac{l}{2}\sin {\theta }_1,\\ y_1& =-\frac{l}{2}\cos {\theta }_1,\end{array}$

a środek masy drugiego wahadła ma współrzędne:

$\begin{array}{cc}{x}_2& =l(\sin {\theta }_1+\frac{1}{2}\sin {\theta }_2),\\ y_2& =-l(\cos {\theta }_1+\frac{1}{2}\cos {\theta }_2)\end{array}$

Teraz można zapisać Lagrangian układu.

Lagrangian

Lagrangian ma postać:

$\begin{array}{cc}L& =\text{energia kinetyczna}-\text{energia potentiala}\\ & =\frac{1}{2}m(v_1^2+v_2^2)+\frac{1}{2}I({{\dot{\theta }}_1}^2+{{\dot{\theta }}_2}^2)-mg(y_1+y_2)\\ & =\frac{1}{2}m({{\dot{x}}_1}^2+{{\dot{y}}_1}^2+{{\dot{x}}_2}^2+{{\dot{y}}_2}^2)+\frac{1}{2}I({{\dot{\theta }}_1}^2+{{\dot{\theta }}_2}^2)-mg(y_1+y_2)\end{array}$

Pierwszy wyraz przedstawia energię kinetyczną środków masy obu prętów, drugi przedstawia energię ruchu obrotowego każdego z prętów wokół ich środków masy. Ostatni wyraz - to energia potencjalna prętów w polu grawitacyjnym. Kropki nad symbolami oznaczają pochodne względem czasu rozpatrywanych tu zmiennych.

Korzystając z reguły łańcuchowej różniczkowania funkcji złożonych oraz z tożsamości trygonometrycznych otrzymamy:

Ruch wahadła fizycznego podwójnego (otrzymany za pomocą całkowania numerycznego równań ruchu).

${\dot{x}}_1={\dot{\theta }}_1(\frac{l}{2}\cos {\theta }_1)\to {\dot{x}}_1^2={\dot{\theta }}_1^2\left(\frac{l^2}{4}{\cos }^2{\theta }_1\right)$

${\dot{y}}_1={\dot{\theta }}_1(\frac{l}{2}\sin {\theta }_1)\to {\dot{y}}_1^2={\dot{\theta }}_1^2\left(\frac{l^2}{4}{\sin }^2{\theta }_1\right)$

${\dot{x}}_1^2+{\dot{y}}_1^2={\dot{\theta }}_1^2\frac{l^2}{4}({\cos }^2{\theta }_1+{\sin }^2{\theta }_1)=\frac{l^2}{4}{\dot{\theta }}_1^2$

oraz

${\dot{x}}_2=l({\dot{\theta }}_1\cos {\theta }_1+\frac{1}{2}{\dot{\theta }}_2\cos {\theta }_2)\to {\dot{x}}_2^2=l^2({\dot{\theta }}_1^2{\cos }^2{\theta }_1+{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_2^2{\cos }^2{\theta }_2)$

${\dot{y}}_2=l({\dot{\theta }}_1\sin {\theta }_1+\frac{1}{2}{\dot{\theta }}_2\sin {\theta }_2)\to {\dot{y}}_2^2=l^2({\dot{\theta }}_1^2{\sin }^2{\theta }_1+{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2+\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_2^2{\sin }^2{\theta }_2)$

${\dot{x}}_2^2+{\dot{y}}_2^2=l^2({\dot{\theta }}_1^2{\cos }^2{\theta }_1+{\dot{\theta }}_1^2{\sin }^2{\theta }_1+\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_2^2{\cos }^2{\theta }_2+\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_2^2{\sin }^2{\theta }_2+{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)$

$=l^2({\dot{\theta }}_1^2+\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_2^2+{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)).$

Podstawiając powyższe wyrażenia i zmieniając kolejność wyrazów otrzymamy

$L=\frac{m{l}^2}{2}(\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_1^2+{\dot{\theta }}_1^2+\frac{1}{4}{\dot{\theta }}_2^2+{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2))+\frac{m{l}^2}{24}({\dot{\theta }}_1^2+{\dot{\theta }}_2^2)-mg(y_1+y_2)$

$=\frac{1}{6}m{l}^2({{\dot{\theta }}_2}^2+4{{\dot{\theta }}_1}^2+3{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2))+\frac{1}{2}mgl(3\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2).$

Tylko energia jest wielkością zachowaną, moment pędu nie jest zachowany. Dwa uogólnione pędy można zapisać następująco:

$\begin{array}{cc}{p}_{{\theta }_1}& =\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}_1}=\frac{1}{6}m{l}^2(8{\dot{\theta }}_1+3{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2))\\ p_{{\theta }_2}& =\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}_2}=\frac{1}{6}m{l}^2(2{\dot{\theta }}_2+3{\dot{\theta }}_1\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)).\end{array}$

Wyrażenia powyższe można odwrócić i otrzymamy:

$\begin{array}{cc}{\dot{\theta }}_1& =\frac{6}{m{l}^2}\frac{2p_{{\theta }_1}-3\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)p_{{\theta }_2}}{16-9{\cos }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}\\ {\dot{\theta }}_2& =\frac{6}{m{l}^2}\frac{8p_{{\theta }_2}-3\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)p_{{\theta }_1}}{16-9{\cos }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}.\end{array}$

Pozostałe równania ruchu mają postać:

$\begin{array}{cc}{\dot{p}}_{{\theta }_1}& =\frac{\partial L}{\partial {\theta }_1}=-\frac{1}{2}m{l}^2({\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)+3\frac{g}{l}\sin {\theta }_1)\\ {\dot{p}}_{{\theta }_2}& =\frac{\partial L}{\partial {\theta }_2}=-\frac{1}{2}m{l}^2(-{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)+\frac{g}{l}\sin {\theta }_2).\end{array}$

Cztery ostatnie równania pokazują w sposób jawny ewolucję układu w czasie. Nie jest możliwe scałkowanie tych równań tak, by dostać ${\theta }_1,{\theta }_2$ w funkcji czasu. Jednak jest możliwe dokonanie całkowania numerycznego tych równań za pomocą np. metody Runge Kutta.

Ruch chaotyczny

Wykres czasów, w jakich wahadło dokonuje całego obrotu w zależności od warunków początkowych.

Długoczasowa ekspozycja wahadła podwójnego wskazuje na jego ruch chaotyczny (tor utrwalony za pomocą diod LED)

Wahadło podwójne podlega ruchowi chaotycznemu i wykazuje dużą zależność ruchu od niewielkich zmian warunków początkowych. Wykres po prawej stronie przedstawia zależność czasu, jaki upłynął zanim wahadło odwróciło się, w zależności od ę położenia początkowego, w którym wahadło spoczywało. Tutaj wartość początkowa ${\theta }_1$ zmienia się wzdłuż osi poziomej od −3.14 to 3.14. Wartość początkowa ${\theta }_2$ zmienia się wzdłuż osi pionowej od −3.14 to 3.14. Kolor każdego piksela wskazuje ile razy dłuższy czas upłynął, by wahadło wykonało pełny obrót względem czasu minimalnego $t_{min}=\sqrt{\frac{l}{g}}:$

• czarny: $1$
• czerwony: $10$
• zielony: $100$
• niebieski: $1000$
• fiolet: $10000$
• biały: $>10000$

Trzy podwójne wahadła z bliskimi warunkami początkowymi szybko rozbiegają się, wskazując na chaotyczny charakter ruchu układu.

Brzeg białego obszaru jest określony częściowo z zasady zachowania energii krzywą o równaniu

$3\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2=2.$

Wewnątrz tego obszaru, danego nierównością

$3\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2>2,$

jest niemożliwy obrót żadnego z wahadeł. Na zewnątrz tego obszaru wahadło może obrócić się, ale trudno określić, kiedy to nastąpi. Podobne zachowanie obserwuje się dla wahadła podwójnego złożonego z dwóch punktowych mas (zamiast z dwóch prętów).

Brak naturalnej częstotliwości wzbudzeń wykorzystuje się w układach tłumienia w budynkach, gdzie budynek pełni rolę wahadła odwróconego, a druga masa, dołączona do niego, tworzy z budynkiem wahadło podwójne.

Zobacz też

przyrządy będące wahadłami

• wahadło balistyczne
• wahadło Newtona
• wahadło Oberbecka
• wahadło radiestezyjne
• wahadło rewersyjne
• wahadło zegarowe

wahadła

• wahadło elastyczne
• wahadło matematyczne
• wahadło sprężynowe
• wahadło torsyjne

Inne

• oscylator harmoniczny
• kwantowy oscylator harmoniczny
• oscylator anharmoniczny
• tautochrona (fizyka)

Całkowanie numeryczne równań ruchu

• metody Rungego-Kutty

Bibliografia

• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).

• Peter Lynch Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)

• Northwestern University, Double Pendulum
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).