Twierdzenie o wiriale

Szablon:Dopracować Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale $V=a{r}^n,$ średnie energie spełniają zależność

$2⟨E_{\mathrm{k}}⟩=n⟨E_{\mathrm{p}}⟩.$

Na przykład dla oscylatora harmonicznego $V=k{r}^2,$ a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale $⟨E_{\mathrm{k}}⟩=⟨E_{\mathrm{p}}⟩.$ Dla planety w polu grawitacyjnym $V=-k/r,$ wobec tego

$2⟨E_{\mathrm{k}}⟩=-⟨E_{\mathrm{p}}⟩.$

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk – gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić, korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨A⟩=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨[A,H]⟩.$

Podstawimy

$A=xp,$

gdzie:

$p$ – operator pędu,

$x$ – operator położenia,

oraz

$H=T+V(x),$

gdzie:

$T$ – operator energii kinetycznej,

$V$ – energia potencjalna.

Obliczmy $[xp,T]:$

$[xp,T]=[x,T]p+x[p,T]=[x,T]p=\frac{1}{2m}[x,p^2]p=\frac{1}{2m}([x,p]p+p[x,p])p=\frac{2\mathrm{i}\hslash }{2m}{p}^2=2\mathrm{i}\hslash T.$

Obliczmy $[xp,V(x)]:$

$[xp,V(x)]=[x,V(x)]p+x[p,V(x)]=x[p,V(x)]=-\mathrm{i}\hslash x[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x},V(x)]=-\mathrm{i}\hslash x(\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}+V(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-V(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})=-\mathrm{i}\hslash x\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}.$

Ostatecznie mamy:

$[xp,H]=[xp,T]+[xp,V(x)]=\mathrm{i}\hslash (2T-x\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}).$

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta, dostajemy

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨xp⟩=2⟨T⟩-⟨x\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}⟩.$

Średnie $⟨\dots ⟩$ w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego $\psi$ hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨xp⟩=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\psi |xp|\psi ⟩=⟨\dot{\psi }|xp|\psi ⟩+⟨\psi |xp|\dot{\psi }⟩=\frac{-1}{\mathrm{i}\hslash }⟨\psi |Exp|\psi ⟩+\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨\psi |xpE|\psi ⟩=0,$

gdzie:

$E$ – energia całkowita w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$2⟨T⟩=⟨x\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}⟩.$

Przyjmując $V(x)=a{x}^n,$ dostajemy twierdzenie o wiriale.

Zobacz też

• mechanizm Kelvina-Helmholtza