Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a

Szablon:Dopracować Twierdzenie lub lemat Riemanna–Lebesgue’a – twierdzenie analizy harmonicznej, noszące nazwiska Bernharda Riemanna i Henriego Lebesgue’a, mówiące o tym, że transformata Fouriera lub transformata Laplace’a funkcji bezwzględnie całkowalnej w sensie Lebesgue’a znika w nieskończoności.

Twierdzenie

Niech $f:ℝ\to ℂ$ będzie funkcją mierzalną należącą do przestrzeni Lebesgue’a ${\mathrm{L}}^1(ℝ),$ tzn. spełniającą nierówność

$\underset{ℝ}{\int }|f|<\mathrm{\infty }.$

Wówczas transformata Fouriera

$\hat{f}(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-itx}dx\to 0,\text{ przy }|t|\to \mathrm{\infty },$

bądź innymi słowy: obraz $\hat{f}$ należy do podprzestrzeni $C_0(ℝ)$ funkcji ciągłych znikających w nieskończoności przestrzeni ${\mathrm{L}}^1(ℝ).$

Dowód

Niech $f:{ℝ}^n\to ℂ$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni${\mathrm{L}}^1({ℝ}^n),$ czyli $\Vert f{\Vert }_{L_1(\mu )}<+\mathrm{\infty },$ wówczas:

Szablon:Wzór

gdzie $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_n)\in {ℝ}^n.$

Zacznijmy obliczenia od funkcji charakterystycznej przesuniętego o dowolny wektor hipersześcianu o bieżącym punkcie centralnym $P_0=(p_1,p_2,...,p_n)$ i boku o długości równej $\mathrm{\Delta }.$ Zbiór będzie oznaczany dalej jako $[P_0,\mathrm{\Delta }].$

$\underset{[P_0,\mathrm{\Delta }]}{\int }{1}_{[P_0,\mathrm{\Delta }]}{e}^{-i\omega x}dx=\prod _{j=1}^n\left(\underset{p_j-\frac{\mathrm{\Delta }}{2}}{\overset{p_j+\frac{\mathrm{\Delta }}{2}}{\int }}{e}^{-i{\omega }_j{x}_j}d{x}_j\right).$

Fakt, że $\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty },$ wskazuje iż przynajmniej jedna ze składowych wektora $\omega ,$ dąży do nieskończoności, bez utraty ogólności można przyjąć, że jest to ${\omega }_1$ a zatem:

$0⩽\underset{{\omega }_1\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{p_1-\frac{\mathrm{\Delta }}{2}}{\overset{p_1+\frac{\mathrm{\Delta }}{2}}{\int }}{e}^{-i{\omega }_1{x}_1}d{x}_1\right|=\underset{{\omega }_1\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|{\left[\frac{e^{-i{\omega }_1{x}_1}}{-i{\omega }_1}\right]}_{p_1-\frac{\mathrm{\Delta }}{2}}^{p_1+\frac{\mathrm{\Delta }}{2}}\right|⩽\underset{{\omega }_1\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{\left|{\omega }_1\right|}=0,$

skutkiem czego, korzystając między innymi z nierówności trójkąta, uzyskuje się:

Szablon:Wzór

Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem mierzalnym takim, że jego miara Lebesgue’a $\mu (A)$ ma pewną skończoną wartość liczbową, natomiast $\tilde{A}$ przybliżeniem $A$ takim, że $A\subseteq \tilde{A},$ ponadto:

$\tilde{A}=\bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[P(m),\mathrm{\Delta }(m)],\text{ gdzie }{\mathrm{\forall }}_{(k,j)\in {\mathbb{Z}}_{+}^2:k\ne j}(P(k),\mathrm{\Delta }(k))\cap (P(j),\mathrm{\Delta }(j))=\mathrm{\varnothing }$

${\chi }_{\tilde{A}}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{1}_{(P(m),\mathrm{\Delta }(m))}+{\chi }_S,$

gdzie $(P(m),\mathrm{\Delta }(m))$ jest maksymalnym zbiorem otwartym zawartym w $[P(m),\mathrm{\Delta }(m)],$ $S=\bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[P(m),\mathrm{\Delta }(m)]-(P(m),\mathrm{\Delta }(m)).$

$0⩽\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_S{e}^{-i\omega x}\right|⩽\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_S=\mu (S)⩽\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\mu ([P(m),\mathrm{\Delta }(m)]-(P(m),\mathrm{\Delta }(m)))=0.$

Zastosowana metoda aproksymacji $A$ przez $\tilde{A}$ daje pozytywny rezultat, gdyż standardowa konstrukcja pokrycia zbioru mierzalnego opiera się na przedziałach, których funkcje charakterystyczne są nieciągłe na zbiorze miary zero taka sama sytuacja zajdzie zatem również w przypadku ${\chi }_{\tilde{A}}.$ Można dokonać podziału na przeliczalną liczbę obszarów z których każdy jest się w stanie pokryć przy pomocy ciągu $[P(m),\mathrm{\Delta }(m)]$ z odpowiednio dopasowaną deltą. Ostatecznie jego wyrazy jako zbiór równoliczny z podzbiorem iloczynu kartezjańskiego (przeliczalna liczba obszarów to też przeliczalna liczba oddzielnych sum) są przeliczalne.

Stosując zależność Szablon:LinkWzór, można obliczyć granicę iterowaną:

$\begin{array}{cc}0⩽L& =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left[\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }({\chi }_S+\sum _{j=1}^m{1}_{(P(j),\mathrm{\Delta }(j))})e^{-i\omega x}\right|\right]\}\\ & ⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left[\sum _{j=1}^m\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }{1}_{[P(j),\mathrm{\Delta }(j)]}{e}^{-i\omega x}dx\right|\right)\right]\}=0\end{array}$

na mocy nierówności trójkąta:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_A{e}^{-i\omega x}\right|\right)\}⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_A{e}^{-i\omega x}-\underset{{ℝ}^n}{\int }({\chi }_S+\sum _{j=1}^m{1}_{(P(j),\mathrm{\Delta }(j))})e^{-i\omega x}|\right)\}+L$

ponowne skorzystanie z nierówności trójkąta pozwala na wyrugowanie $\omega$ po prawej stronie, zatem:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_A{e}^{-i\omega x}\right|\right)\}⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }|{\chi }_A-({\chi }_S+\sum _{j=1}^m{1}_{(P(j),\mathrm{\Delta }(j))})|\right)\},$

stąd:

$\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_A{e}^{-i\omega x}\right|⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tilde{A}\to A}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\underset{{ℝ}^n}{\int }|{\chi }_A-({\chi }_S+\sum _{j=1}^m{1}_{(P(j),\mathrm{\Delta }(j))})|\},$

pamiętając, że zbiory $(P(j),\mathrm{\Delta }(j))$ i $S$ nie mają ze sobą części wspólnej:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }|{\chi }_A-({\chi }_S+\sum _{j=1}^m{1}_{(P(j),\mathrm{\Delta }(j))})|=\mu \left([S\cup \bigcup _{j=1}^m(P(j),\mathrm{\Delta }(j))]\dot{-}A\right)$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\mu \left([S\cup \bigcup _{j=1}^m(P(j),\mathrm{\Delta }(j))]\dot{-}A\right)=\mu \left([S\cup \bigcup _{j=1}^{+\mathrm{\infty }}(P(j),\mathrm{\Delta }(j))]\dot{-}A\right)=\mu (\tilde{A}\dot{-}A)=\mu (\tilde{A})-\mu (A).$

Równość powyżej jest naturalną konsekwencją iż na mocy przyjętych założeń $A\subseteq \tilde{A},$ wobec czego różnica symetryczna zbiorów $\tilde{A}\dot{-}A=\tilde{A}\setminus A$ natomiast miara Lebesgue’a będzie różnicą miar. Uwzględniając, że $A$ jest zbiorem mierzalnym o skończonej mierze, można wyznaczyć granicę: Szablon:Wzór

Niech $g:{ℝ}^n\to [0,+\mathrm{\infty })$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni ${\mathrm{L}}^1({ℝ}^n),$ jej całkę Lebesgue’a można zatem obliczyć jako: Szablon:Wzór

zaś samą funkcję $g$ przedstawić wyrażeniem:

$g=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^m\delta {\chi }_{r_j}),$

gdzie $A_j=\{x\in \text{obszaru całkowania A}:g(x)>j\delta \}$ zaś $r_j=\{x\in {ℝ}^n:g(x)>j\delta \}.$

Licząc granicę iterowaną i korzystając z faktu, iż ${\mathrm{\forall }}_{x\in {ℝ}^n}(g(x)⩾0\wedge \underset{{ℝ}^n}{\int }|g|=\underset{{ℝ}^n}{\int }g<+\mathrm{\infty })$ powoduje, że ${\mathrm{\forall }}_{(j,\delta )\in {\mathbb{Z}}_{+}\times {ℝ}_{+}}\mu (r_j)<+\mathrm{\infty }$ co pozwala skorzystać z zależności Szablon:LinkWzór a zatem:

$0⩽L_g=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left[\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }\left(\sum _{j=1}^m\delta {\chi }_{r_j}\right)e^{-i\omega x}\right|\right]\}⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left[\sum _{j=1}^m\left(\delta \underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_{r_j}{e}^{-i\omega x}\right|\right)\right]\}=0,$

stosując ponownie nierówność trójkąta:

$\begin{array}{cc}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }g{e}^{-i\omega x}\right|\right)\}& ⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }|\underset{{ℝ}^n}{\int }g{e}^{-i\omega x}-\underset{{ℝ}^n}{\int }\left(\sum _{j=1}^m\delta {\chi }_{r_j}\right)e^{-i\omega x}|\right)\}+L_g\\ & ⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }|g-\left(\sum _{j=1}^m\delta {\chi }_{r_j}\right)|\right)\},\end{array}$

więc:

$\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left|\underset{{ℝ}^n}{\int }g{e}^{-i\omega x}\right|⩽\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0^{+}}\{\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{{ℝ}^n}{\int }|g-\sum _{j=1}^m\delta {\chi }_{r_j}|\right)\}.$

Uwzględniwszy, że na mocy założeń dla każdego $x\in {ℝ}^n$ funkcja $g(x)⩾0,$ a także, iż ${\mathrm{\forall }}_{(m,\delta )\in {\mathbb{Z}}_{+}\times {ℝ}_{+}}g⩾\sum _{j=1}^m\delta {\chi }_{r_j}$ oraz zależność Szablon:LinkWzór: Szablon:Wzór

Powyższy rezultat jest ściśle powiązany z przynależnością $g(x)$ do przestrzeni ${\mathrm{L}}^1({ℝ}^n),$ oraz mierzalnością, co pozwala na uniknięcie braku istnienia granicy i symbolów nieoznaczonych typu $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }.$

Niech $h:{ℝ}^n\to ℝ$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni ${\mathrm{L}}^1({ℝ}^n)$ wówczas jej całkę Lebesgue’a można przedstawić w postaci:

$\int h=\int h^{+}-\int h^{-},$

gdzie $h^{+}:=\max (h,0)$ zaś $h^{-}:=\max (-h,0).$ Uwzględnienie postulatu σ-skończoności, który cechuje miarę Lebesgue’a i implikuje mierzalnością zbiorów ${ℝ}_{+}$ i ${ℝ}_{-},$ prowadzi do wniosku, że funkcje $h^{+}$ i $h^{-}$ muszą być mierzalne jeżeli mierzalnym jest $h,$ ponadto:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }|h|=\underset{{ℝ}^n}{\int }{h}^{+}+\underset{{ℝ}^n}{\int }{h}^{-}<+\mathrm{\infty },$

więc $h^{+}\in L^1({ℝ}^n)\wedge h^{-}\in L^1({ℝ}^n),$ co pozwala mi na skorzystanie z zależności Szablon:LinkWzór a zatem: Szablon:Wzór

Teraz można już przeprowadzić ostateczny dowód dla funkcji $f,$ scharakteryzowanej wraz z wyrażeniem Szablon:LinkWzór. Założenie dotyczące mierzalności skutkuje mierzalnością $\mathrm{\Re }f$ oraz $\mathrm{\Im }f.$ Ponadto:

$0⩽\min (\underset{{ℝ}^n}{\int }\left|\mathrm{\Im }f\right|,\underset{{ℝ}^n}{\int }\left|\mathrm{\Re }f\right|)⩽\max (\underset{{ℝ}^n}{\int }\left|\mathrm{\Im }f\right|,\underset{{ℝ}^n}{\int }\left|\mathrm{\Re }f\right|)⩽\underset{{ℝ}^n}{\int }|f|<+\mathrm{\infty },$

wobec czego $\mathrm{\Im }f\in L^1({ℝ}^n)\wedge \mathrm{\Re }f\in L^1({ℝ}^n),$ dzięki czemu można użyć zależności Szablon:LinkWzór, więc:

$\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }f{e}^{-i\omega x}=\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }\mathrm{\Re }f{e}^{-i\omega x}+\underset{\Vert \omega {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }i\mathrm{\Im }f{e}^{-i\omega x}=0+i0=0,$

co też należało wykazać. Zachodzenie całkowalności w sensie Riemanna, jest możliwe tylko w przypadku zachodzenia całkowalności w sensie Lebesgue’a, zatem odrębny dowód nie jest konieczny, gdyż prowadzi do identycznego rezultatu. Istnieje całkiem spora grupa funkcji z przestrzeni L¹, dla których granica Szablon:LinkWzór w sensie R-całki nie istnieje, czego przykładem jest chociażby $\frac{1_{\mathbb{Q}}2-1}{1+x^2},$ co nie jest wynikiem, który powinno się traktować jako miarodajny, gdyż dowolny zbiór przeliczalny $M\subset {ℝ}^n$ można pokryć sumą o postaci $\bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[P(m),\sqrt[n]{\frac{\epsilon }{2^{m+1}}}],$ gdzie $\epsilon >0$ może być dowolnie bliski zeru, natomiast funkcja $P:{\mathbb{Z}}_{+}\to M,$ jest zazwyczaj bijekcją. Czuje się tutaj jednocześnie wyraźny sens istnienia nieprzeliczalności, gdyż w przypadku policzalności zbioru $ℝ$ wszystko byłoby skomasowane w dokładnie jednym punkcie, czyli nie miałoby sensu.

Uwagi

• W języku rachunku prawdopodobieństwa twierdzenie to można wyrazić następująco:

  Jeżeli $x$ jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to jej funkcja charakterystyczna dąży do zera:

  $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{|t|\to +\mathrm{\infty }}{\phi }_X(t)=0.$

• Jeżeli nośnik $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f=(0,+\mathrm{\infty }),$ to teza zachodzi również dla transformaty Laplace’a, tj.

  $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{|t|\to \mathrm{\infty }}ℒf(t)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{|t|\to \mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-tx}dx=0,\text{gdy }\mathrm{\Im }(t)⩾0.$

• Istnieje również wersja dla szeregów Fouriera:

  Jeśli $f$ jest funkcją całkowalną (w sensie Lebesgue’a) na przedziale, to współczynniki Fouriera $f_n\to 0$ przy $n\to \pm \mathrm{\infty };$ wystarczy rozszerzyć $f,$ przyjmując 0 poza wspomnianym przedziałem, a następnie zastosować twierdzenie dla całej prostej.

• Tezę można uogólnić na wielowymiarowe przestrzenie euklidesowe: jeżeli $𝐟\in {\mathrm{L}}^1({ℝ}^n),$ to wystarczy przyjąć

  $\widehat{𝐟}(𝐭)=\underset{{ℝ}^n}{\int }𝐟(𝐱)\exp \mathit{(}-i𝐭\cdot 𝐱)\mathrm{d}𝐱.$