Twierdzenie Mittag-Lefflera

Portret Gösty Mittaga-Lefflera

W analizie zespolonej twierdzenie Mittag-Lefflera dotyczy istnienia funkcji meromorficznych o określonych biegunach. Odwrotnie, można go użyć do wyrażenia dowolnej funkcji meromorficznej jako sumy ułamków cząstkowych. Jest to twierdzenie podobne do twierdzenia Weierstrassa, które orzeka i istnieniu funkcji holomorficznych o określonych miejscach zerowych.

Twierdzenie to zostało nazwane na cześć szwedzkiego matematyka Gösty Mittaga-Lefflera, który opublikował jego wersje w latach 1876 i 1884.

Twierdzenie

Niech $U$ będzie zbiorem otwartym w $ℂ$ oraz $E\subset U$ będzie podzbiorem, którego punkty skupienia, jeśli występują, występują na brzegu zbioru $U.$ Dla każdego $a$ w $E,$ niech $p_a(z)$ będzie wielomianem ze względu na zmienną $1/(z-a)$ bez stałego współczynnika, tj. wyrażeniem postaci

$p_a(z)=\sum _{n=1}^{N_a}\frac{c_{a,n}}{(z-a{)}^n}.$

Twierdzenie Miggag-Lefflera mówi, że przy takich założeniach istnieje funkcja meromorficzna $f$ na zbiorze $U$ której bieguny są dokładnie elementami $E$ i takie, że dla każdego takiego bieguna $a\in E,$ funkcja $f(z)-p_a(z)$ ma tylko usuwalną osobliwość na $a;$ w szczególności częścią główną z $f$ wokół punktu $a$ jest $p_a(z).$ Funkcja taka nie jest określona jednoznacznie. Dowolna inna funkcja funkcję meromorficzną $g$ na $U$ która spełnia założenia twierdzenia można wyrazić w postaci $g=f+h,$ gdzie $h$ jest dowolną funkcją holomorficzną na $U.$

Przykład

Załóżmy, że chcemy otrzymać funkcję meromorficzną z prostymi biegunami z residuum 1 dla biegunów we wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Przy zapisie jak wyżej, niech

$p_k(z)=\frac{1}{z-k}$

oraz $E={\mathbb{Z}}^{+}$ Twierdzenie Mittag-Lefflera daje istnienie funkcji meromorficznej $f$ z częścią główną $p_k(z)$ w $z=k$ dla każdej liczby całkowitej dodatniej $k.$ Funkcję taką możemy określić też jawnie przy pomocy szeregu

$f(z)=z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(z-k)}.$

Ten szereg zbiega normalnie na dowolnym zwartym podzbiorze $ℂ\setminus {\mathbb{Z}}^{+}$ (co można wykazać za pomocą kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów) do funkcji meromorficznej o pożądanych własnościach.

Rozwinięcia biegunowe funkcji meromorficznych

Oto kilka przykładów rozwinięć biegunowych funkcji meromorficznych: $$\pi \mathrm{cosec}(\pi z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1{)}^n}{z-n}=\frac{1}{z}+2z\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{z^2-n^2}$$$$\pi \sec (\pi z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1{)}^{n-1}}{z-(n+\frac{1}{2})}=2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(n+\frac{1}{2})}{z^2-(n+\frac{1}{2}{)}^2}$$$$\pi \mathrm{ctg}(\pi z)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{z-n}=\frac{1}{z}+2z\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2-n^2}$$

$\pi \mathrm{tg}(\pi z)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{-1}{z-(n+\frac{1}{2})}=2z\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{z^2-(n+\frac{1}{2}{)}^2}$

$(\pi \mathrm{cosec}(\pi z){)}^2=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z-n{)}^2}$

$(\pi \sec (\pi z){)}^2=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z-(n+\frac{1}{2}){)}^2}$

Zobacz też

• Twierdzenie Liouville’a