Twierdzenie Markowa-Kakutaniego

Twierdzenie Markowa-Kakutaniego – twierdzenie o punkcie stałym udowodnione przez Andrieja Markowa^[1] oraz Shizuo Kakutaniego^[2] mówiące o istnieniu wspólnego punktu stałego dla półgrupy ciągłych operatorów afinicznych określonych na wypukłym, zwartym podzbiorze przestrzeni lokalnie wypukłej.

Twierdzenie

Niech $E$ będzie przestrzenią lokalnie wypukłą oraz niech $C \subseteq E$ będzie zbiorem wypukłym i zwartym. Niech $S$ będzie rodziną operatorów afinicznych $T : C \to C,$ które ze sobą komutują, tj. $T_{1} T_{2} = T_{2} T_{1}$ dla $T_{1}, T_{2} \in S .$ Wówczas operatory te mają wspólny punkt stały, tj. istnieje taki $x \in C,$ że $T x = x$ dla wszystkich $T \in S .$

Dowód

Istnienie punktu stałego dla jednego operatora

Niech $T : C \to C$ będzie operatorem afinicznym. Dla $x \in C$ niech

x_{N} = \frac{1}{N + 1} \sum_{n = 0}^{N} T^{n} (x) (N \in ℕ) .

Wówczas $x_{N} \in C .$ Ze zwartości $C$ wynika, że ciąg $(x_{N})$ ma podciąg uogólniony $(x_{N_{i}})$ zbieżny do pewnego $y \in C .$ Punkt $y$ jest punktem stałym dla $T,$ tj. $T y = y .$ Rzeczywiście, z lokalnej wypukłości przestrzeni $E$ wystarczy wykazać, że

⟨ f, T y ⟩ = ⟨ f, y ⟩ (f \in E^{*}),

gdyż ciągłe funkcjonały liniowe na $E$ rozdzielają punkty $E$ (tj. dla dowolnej pary różnych punktów $x,$ $y \in E$ istnieje taki ciągły funkcjonał liniowy $f$ na $E,$ dla którego $f (x) \neq f (y)$ ). Niech $f \in E^{*} .$ Ze zwartości $C,$ $f$ jest ograniczony na $C$ przez pewną stałą $M .$ Z drugiej strony

| ⟨ f, T x_{N} ⟩ - ⟨ f, x_{N} ⟩ | = \frac{1}{N + 1} | ⟨ f, T^{N + 1} x ⟩ - ⟨ f, x ⟩ | ⩽ \frac{2 M}{N + 1} (N \in ℕ) .

W szczególności dla $N = N_{i},$ przechodząc do granicy podciągu uogólnionego, dostaje się tezę.

Przypadek ogólny

Dla każdego $T \in S$ zbiór punktów stałych $C_{T}$ operatora $T$ jest niepusty, ale także wypukły i zwarty. Ponadto

T_{1} (C_{T_{2}}) \subseteq C_{T_{2}} (T_{1}, T_{2} \in S),

z uwagi na to, że $T_{1} T_{2} = T_{2} T_{1}$ dla $T_{1}, T_{2} \in S .$ W szczególności, dla każdego skończonego podzbioru $F \subseteq S,$ mamy

⋂_{T \in F} C_{T} \neq \emptyset .

Rodzina ${C_{T} : T \in S}$ składająca się zwartych podzbiorów przestrzeni zwartej $C$ ma własność skończonych przekrojów, a więc jej część wspólna jest niepusta. Oznacza to, że element należący do części wspólnej tej rodziny jest wspólnym punktem stałym dla operatorów z $S .$

Przypisy

Szablon:Przypisy

↑ A. Markov, Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens, „Dokl. Akad. Nauk SSSR” 10 (1936), s. 311–314.
↑ S. Kakutani, Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets, „Proc. Imp. Acad.” 14 (1938), no. 7, s. 242–245.

[1] A. Markov, Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens, „Dokl. Akad. Nauk SSSR” 10 (1936), s. 311–314.

[2] S. Kakutani, Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets, „Proc. Imp. Acad.” 14 (1938), no. 7, s. 242–245.

[1]

[2]

Twierdzenie Markowa-Kakutaniego

Twierdzenie

Dowód

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj