Zbiór rozdzielający

Szablon:Inne znaczenia Zbiór rozdzielający – zbiór $S$ funkcji $A\to B,$ w którym dla dowolnych dwóch elementów $x,y\in A$ istnieje funkcja $f\in S$ spełniająca $f(x)\ne f(y);$ mówi się też, że zbiór $S$ rozdziela punkty $B$.

Zbiory rozdzielające ułatwiają sformułowanie wariantu twierdzenia Stone’a-Weierstrassa dla funkcji o wartościach rzeczywistych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z topologią zbieżności jednostajnej:

dowolna podalgebra tej przestrzeni funkcyjnej jest gęsta wtedy i tylko tedy, gdy rozdziela punkty.

Tę wersję twierdzenia dowiódł jako pierwszy Marshall Stone.

Przykłady

• Zbiór jednoelementowy składający się z funkcji tożsamościowej liczb rzeczywistych $ℝ$ rozdziela punkty $ℝ.$
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią normalną (tj. T₄ i T₁), to lemat Urysohna mówi, że zbiór $𝒞(X)$ funkcji ciągłych na $X$ o wartościach rzeczywistych (lub zespolonych) rozdziela punkty $X.$