Twierdzenie Junga

Twierdzenie Junga – nierówność pomiędzy średnicą zbioru punktów w dowolnej przestrzeni euklidesowej

Twierdzenie

Rozważmy przestrzeń zwartą

$K\subset {ℝ}^n$

i niech

$d=\max {\mathrm{\backslash nolimits}}_{p,q\in K}\Vert p-q{\Vert }_2$

będzie średnicą zbioru $K,$ to znaczy największą odległością euklidesową pomiędzy dowolnymi dwoma punktami w $K.$ Twierdzenie Junga mówi, że istnieje zamknięta kula o promieniu

$r⩽d\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},$

która zawiera $K.$ Przypadek graniczny występuje w przypadku $n$-wymiarowego sympleksu foremnego.

Twierdzenie Junga na płaszczyźnie

Najczęściej twierdzenie Junga stosuje się do płaszczyzny, to znaczy przypadek $n=2.$ W tym przypadku twierdzenie mówi, że istnieje koło zawierające zbiór $K$ o promieniu

$r⩽\frac{d}{\sqrt{3}}.$

Nie można pokazać lepszego ograniczenia: gdy $K$ jest trójkątem równobocznym (lub jego trzema wierzchołkami), wtedy

$r=\frac{d}{\sqrt{3}}.$

Inne przestrzenie metryczne

Dla dowolnego ograniczonego zbioru $S,$ w dowolnej przestrzeni metrycznej $d/2⩽r⩽d.$ Pierwsza nierówność wynika z nierówności trójkąta dla środka kuli oraz dwóch przeciwległych punktów, a druga wynika z tego, że kula o promieniu $d$ ze środkiem w dowolnym punkcie w $S$ będzie zawierała cały zbiór $S.$ W przestrzeni metrycznej dyskretnej, to znaczy w przestrzeni, w której wszystkie odległości są równe $r=d.$ Z drugiej strony, w przestrzeniach hiperwklęsłych, takich jak metryka miejska na płaszczyźnie $r=d/2:$ dowolne dwie zamknięte kule o promieniu $d/2$ o środkach w $S$ mają niepuste przecięcie, a więc wszystkie takie kule mają wspólne przecięcie, a promień $d/2$ kuli o środku w tym przecięciu zawiera cały zbiór $S.$ Znane są także wersje twierdzenia Junga dla innych geometrii nieeuklidesowych (np. Dekster 1995, 1997).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld