Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka

Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka – twierdzenie charakteryzujące ograniczone miary wektorowe określone na σ-ciałach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwisk matematyków: Jeana Dieudonnégo i Alexandra Grothendiecka.

Twierdzenie

Niech $𝒜$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru $\mathrm{\Omega },$ $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $\mathrm{\Gamma }\subseteq X^{*}$ będzie podzbiorem przestrzeni sprzężonej, którego elementy rozdzielają punkty w $X.$ Jeżeli $\nu$ jest taką funkcją rzeczywistą na $𝒜,$ że dla każdego $x^{*}\in \mathrm{\Gamma }$ złożenie $x^{*}\circ \nu$ jest ograniczoną i skończenie addytywną funkcją zbiorów, to $\nu$ jest miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu.

Dowód

Z założenia, że funkcjonały w $\mathrm{\Gamma }$ rozdzielają punkty w $X$ wynika, że $\nu$ jest miarą wektorową. By wykazać, że $\nu$ jest ograniczona, używając twierdzenia Nikodyma o ograniczoności, wystarczy udowodnić, że dla każdego funkcjonału $x^{*}\in X^{*}$ złożenie $x^{*}\circ \nu$ jest ograniczoną funkcją zbiorów. Niech

$M=\{x^{*}\in x^{*}:\Vert x^{*}\circ \nu {\Vert }_1(\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty }\},$

gdzie $\Vert \cdot {\Vert }_1$ oznacza wahanie miary. Zbiór $M$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X^{*}.$ Z założenia, $\mathrm{\Gamma }\subseteq M,$ a więc podprzestrzeń $M$ jest gęsta w $X^{*}$ w *-słabej topologii. Na mocy twierdzenia Krejna-Szmuljana wystarczy pokazać, że zbiór

$M_1=M\cap \{x^{*}\in x^{*}:\Vert x^{*}\Vert ⩽1\}$

jest *-słabo domknięty, gdyż wówczas cała przestrzeń $M$ będzie taka, a ponieważ jest ona *-słabo gęsta, $M=X^{*}.$

Niech $A\in 𝒜.$ Wówczas

$\underset{x^{*}\in M_1}{\sup }|(x^{*}\circ \nu )(A)|⩽\Vert \nu (A)\Vert <\mathrm{\infty }.$

Z twierdzenia Nikodyma o ograniczoności wynika, że

$\underset{x^{*}\in M_1}{\sup }\underset{A\in 𝒜}{\sup }|(x^{*}\circ \nu )(A)|=C<\mathrm{\infty }.$

Niech $(x_{\alpha }^{*})$ będzie siecią elementów zbioru $M_1$ zbieżną *-słabo do pewnego funkcjonału $x^{*}\in X^{*}.$ Wówczas $\Vert x^{*}\Vert ⩽1.$ Ponadto

$|(x^{*}\circ \nu )(A)|=\underset{\alpha }{\lim }|(x_{\alpha }^{*}\circ \nu )(A)|⩽C$

dla wszystkich $A\in 𝒜.$ Oznacza to, że

$\Vert x^{*}\circ \nu {\Vert }_1(\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty },$

tj. $x^{*}\in M_1$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę