Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności

Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności – twierdzenie udowodnione przez Ottona Nikodyma w 1933 roku, które gwarantuje jednostajną ograniczoność rodziny miar wektorowych na danym σ-ciele zbiorów, o ile są one punktowo jednostajnie ograniczone.

Nikodym udowodnił pierwotnie twierdzenie dla miar przyjmujących wartości skalarne. Poniższa wersja sformułowana dla miar wektorowych pochodzi od Drewnowskiego.

Twierdzenie

Niech $ℱ$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru $\mathrm{\Omega }$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Jeżeli $\{{\mu }_t:t\in T\}$ jest taką rodziną miar wektorowych na $A$ przyjmujących wartość w $X,$ że gdy dla każdego zbioru $A\in ℱ$ zachodzi

$\underset{t\in T}{\sup }\Vert {\mu }_t(A)\Vert <\mathrm{\infty },$

to

$\underset{t\in T}{\sup }\Vert {\mu }_t\Vert (\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty },$

gdzie $\Vert \mu \Vert$ oznacza półwahanie miary $\mu$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę