Tożsamość Brahmagupty

Tożsamość Brahmagupty – tożsamość algebraiczna, z której wynika, że iloczyn dwóch liczb postaci $a^2+n{b}^2$ również jest tej postaci. Innymi słowy, zbiór liczb postaci $a^2+n{b}^2$ jest zamknięty ze względu na mnożenie. Tożsamość Brahmagupty orzeka, że Szablon:Wzór

Obie równości łatwo zweryfikować, podnosząc wszystkie wyrażenia do kwadratu i redukując wyrazy podobne.

Po przyjęciu w powyższym wzorze $n=1$ otrzymujemy tożsamość Fibonacciego, nazywaną także tożsamością Diofantosa. Stwierdza ona, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą dwóch kwadratów, również jest sumą dwóch kwadratów Szablon:Wzór Tożsamość Fibonacciego stanowi szczególny przypadek tożsamości Lagrange’a $(n=2).$

Tożsamość Brahmagupty jest prawdziwa dla liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i ogólnie, dla dowolnego pierścienia przemiennego.

Tożsamość ta jest stosowana w teorii liczb, przy założeniu, że liczby $a,b,c,d$ i $n$ są całkowite. Wraz z twierdzeniem Fermata o sumie dwóch kwadratów jest używana do udowodnienia, że liczba całkowita jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby pierwsze postaci $4k+3$ występują w jej rozkładzie na czynniki pierwsze z parzystym wykładnikiem.

Historia

Tożsamość po raz pierwszy pojawia się w Arytmetyce Diofantosa (III, 19). Została ponownie odkryta przez Brahmaguptę (598–668), indyjskiego matematyka i astronoma, który uogólnił ją i używał do badań równań błędnie nazywanych równaniami Pella. Jego Brahmasphutasiddhanta została przetłumaczona z Sanskrytu na arabski przez Mohammada al-Fazariego, a potem na łacinę w 1126. Tożsamość pojawia się później w książce Fibonacciego Liber quadratorum z 1225 roku.

Związek z liczbami zespolonymi

Jeśli $a,b,c,$ i $d$ są liczbami rzeczywistymi, tożsamość Fibonacciego jest równoważna multiplikatywności modułu w ciele liczb zespolonych:

$|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|$

Ponieważ

$|a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,$

więc po podniesieniu obu stron do kwadratu,

$|a+bi{|}^2|c+di{|}^2=|(ac-bd)+i(ad+bc){|}^2$

i po zastosowaniu definicji modułu, otrzymamy:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$

Zastosowanie do rozwiązywania równań Pella

Brahmagupta zastosował odkrytą tożsamość do rozwiązania konkretnego równania Pella: $x^2-N{y}^2=1.$ Używając tożsamości w ogólniejszej postaci:

$(x_1^2-N{y}_1^2)(x_2^2-N{y}_2^2)=(x_1{x}_2+N{y}_1{y}_2{)}^2-N(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2,$

Brahmagupta był w stanie połączyć trójki $(x_1,y_1,k_1)$ i $(x_2,y_2,k_2),$ będące rozwiązaniami $x^2-N{y}^2=k,$ aby otrzymać nową trójkę

$(x_1{x}_2+N{y}_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1,k_1{k}_2).$

Metoda ta nie tylko pozwoliła na otrzymanie nieskończenie wielu rozwiązań równania $x^2-N{y}^2=1$ przy użyciu tylko jednego rozwiązania, ale także na uzyskanie całkowitych, lub „prawie całkowitych” wyników, poprzez podzielenie otrzymanej trójki liczb przez $k_1{k}_2.$ Ogólna metoda rozwiązywania równań Pella (tzw. metoda ćakrawala) została znaleziona przez Bhaskarę II w 1150 i bazowała ona na tożsamości Brahmagupty.

Zobacz też

• tożsamość Lagrange’a
• twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].