Teoria Weyla

Teoria Weyla.

Jeśli $x$ jest liczbą rzeczywistą, to niech $[x]$ oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą od $x.$ Wtedy liczbę $[x]$ nazywamy częścią całkowitą liczby $x.$ Część ułamkowa $x$ jest określona przez $\{x\}=x-[x].$ W szczególności, $x\in [0,1)$ dla każdego $x\in ℝ.$ Na przykład część całkowita i część ułamkowa z liczby $2,7$ są równe odpowiednio $2$ i $0,7,$ podczas gdy część całkowita i część ułamkowa z liczby $-3,4$ są równe odpowiednio $-4$ i $0,6.$

Definicja

O ciągu liczb ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n,\dots$ na przedziale $[0,1)$ mówi się, że są „equidistributed”, na każdym przedziale $(a,b)\subset [0,1)$ mamy:

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\{1\le n\le N:{\xi }_n\in (a,b)\}}{N}=b-a$

gdzie A oznacza liczność zbioru skończonego A.

Twierdzenie

Jeśli $\gamma$ jest niewymierne, to sekwencja części ułamkowych $\{\gamma \},\{2\gamma \},\{3\gamma \},\dots$ jest „equidistributed” na odcinku $[0,1).$

Lemat

Jeśli $f$ jest ciągła i okresowa o okresie równym $1,$ a $\gamma$ jest niewymiene, to

$\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}f(n\gamma )⟶\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx,N\to \mathrm{\infty }.$

Wniosek

Teza powyższego lematu obejmuje każdą funkcję f, która jest całkowalna w sensie Riemanna na odcinku $[0,1]$ i okresowa o okresie równym $1.$

Przykład 1

Ciąg

$0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},\dots$

wydaje się być „equidistributed”, gdyż przebiega na odcinku $[0,1)$ równomiernie.

Oczywiście powyższe rozumowanie nie jest dowodem.

Przykład 2

Niech ciąg $(r_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będzie jakąkolwiek numeracją liczb wymiernych na odcinku $[0,1).$ Wtedy ciąg definiowany tak, że ${\xi }_n=r_{n/2}$ dla $n$ parzystego oraz $0$ dla $n$ nieparzystego. Ciąg ten nie jest „equidistributed”, gdyż „połowa” sekwencji wynosi 0. Niemniej jednak, ta sekwencja jest gęsta.

Bibliografia

• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction.